Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Responda a las dos cuestiones siguientes:

a) Se ha realizado una encuesta sobre la compra de ropa por internet, en concreto sobre compra de ropa nueva y compra de ropa de segunda mano. De los entrevistados, el 90 % dice que compra ropa (usada o nueva), el 15 % compra ropa de ambos tipos y el 60 % no compra ropa de segunda mano. Para un encuestado elegido al azar: (6 puntos)

a.1) Calcule la probabilidad de que compre ropa nueva y no de segunda mano. (3 puntos)

a.2) Si dice que no compra ropa de segunda mano, ¿cuál es la probabilidad de que tampoco compre ropa nueva? (3 puntos)

b) En una encuesta realizada a 64 jóvenes, 8 se mostraron contrarios a llevar mascarillas en el interior de recintos de ocio. Calcule un intervalo de confianza al 97 % para determinar la proporción de jóvenes que son contrarios al uso de mascarilla en interiores de recintos de ocio. Por otro lado, el alcalde de la ciudad considera que si existe un 25 % de jóvenes adversos al uso de mascarilla se requiere aplicar algún tipo de medida de concienciación. A la vista del intervalo calculado, ¿se debería implantar alguna medida de concienciación? (4 puntos)

Se nombran los sucesos que intervienen en el enunciado:

$N \equiv$ el encuestado compra ropa nueva,

$S \equiv$ el encuestado compra ropa de segunda mano.

Del enunciado se extrae:

$P(N\cup S)=0{,}90,\qquad P(N\cap S)=0{,}15,\qquad P(\overline{S})=0{,}60$

De la última, $P(S)=1-0{,}60=0{,}40$. Se despeja $P(N)$ de la fórmula de la probabilidad de la unión:

$P(N)=P(N\cup S)+P(N\cap S)-P(S)=0{,}90+0{,}15-0{,}40=0{,}65$

Con estos datos se reparten las cuatro zonas del diagrama de Venn: solo ropa nueva, ambos tipos, solo segunda mano y ninguno de los dos.



$\textbf{a.1) Calcule la probabilidad de que compre ropa nueva y no de segunda mano.}\ (3\ \text{puntos})$

Los que compran ropa nueva se reparten entre los que compran también de segunda mano y los que no.

$P(N\cap\overline{S})=P(N)-P(N\cap S)=0{,}65-0{,}15$

$P(N\cap\overline{S})=0{,}50$

La probabilidad de que el encuestado compre ropa nueva y no de segunda mano es $0{,}50$.

$\textbf{a.2) Si dice que no compra ropa de segunda mano, ¿cuál es la probabilidad de que tampoco compre ropa nueva?}\ (3\ \text{puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada. Por las leyes de De Morgan, no comprar ninguno de los dos tipos es el suceso contrario de la unión.

$P(\overline{N}/\overline{S})=\dfrac{P(\overline{N}\cap\overline{S})}{P(\overline{S})} =\dfrac{P(\overline{N\cup S})}{P(\overline{S})} =\dfrac{1-P(N\cup S)}{P(\overline{S})}$

$P(\overline{N}/\overline{S})=\dfrac{1-0{,}90}{0{,}60}=\dfrac{0{,}10}{0{,}60}$

$P(\overline{N}/\overline{S})=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667$

Sabiendo que el encuestado no compra ropa de segunda mano, la probabilidad de que tampoco compre ropa nueva es $\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667$.

$\textbf{b) En una encuesta realizada a 64 jóvenes, 8 se mostraron contrarios a llevar mascarillas en el interior de recintos de ocio. Calcule un intervalo de confianza al 97 \% para determinar la proporción de jóvenes que son contrarios al uso de mascarilla en interiores de recintos de ocio. Por otro lado, el alcalde de la ciudad considera que si existe un 25 \% de jóvenes adversos al uso de mascarilla se requiere aplicar algún tipo de medida de concienciación. A la vista del intervalo calculado, ¿se debería implantar alguna medida de concienciación?}\ (4\ \text{puntos})$

Se estima una proporción, así que el intervalo de confianza es

$IC=\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\;;\;\hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\right)$

Se calcula la proporción muestral:

$\hat{p}=\dfrac{8}{64}=0{,}125,\qquad \hat{q}=0{,}875,\qquad n=64$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 97 \%, $\alpha=0{,}03$ y $\alpha/2=0{,}015$:

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



Se calcula el error:

$E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}125\cdot 0{,}875}{64}} =2{,}17\sqrt{0{,}0017090} =2{,}17\cdot 0{,}041340$

$E\approx 0{,}0897$

$IC=(0{,}125-0{,}0897\;;\;0{,}125+0{,}0897)$

El intervalo de confianza al 97 \% para la proporción de jóvenes contrarios al uso de mascarilla es $(0{,}0353\;;\;0{,}2147)$.

Se comprueba ahora si la proporción que preocupa al alcalde pertenece al intervalo:

$0{,}25\notin(0{,}0353\;;\;0{,}2147)$

El valor $0{,}25$ queda por encima del extremo superior del intervalo, de modo que, con los datos de la encuesta y al 97 \% de confianza, no hay evidencia de que la proporción de jóvenes contrarios a la mascarilla alcance el 25 \%. No se debería implantar la medida de concienciación.