Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Siendo $a,b$ parámetros reales, se considera la función

$f(x)=\begin{cases}x^2+2\sqrt{3} & \text{si } x\le 0\\[4pt] \sqrt{ax+b} & \text{si } 0<x\le 3\\[4pt] \dfrac{7}{2}-\dfrac{x}{6} & \text{si } x>3\end{cases}$

a) Determine el valor de los parámetros para que $f(x)$ sea continua. (3 puntos)

b) Para dichos valores, analice si $f(x)$ es derivable en $x=0$ y en $x=3$. (4 puntos)

c) Calcule el valor máximo y mínimo de $f(x)$ si $x\in[6,9]$ y las coordenadas de los puntos donde se alcanzan dichos valores. (3 puntos)

$\textbf{a) Determine el valor de los parámetros para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua.}\ (3\ \text{puntos})$

Cada una de las tres ramas es continua en su tramo: la primera es un polinomio, la tercera es una recta y la segunda es una raíz cuyo radicando habrá que comprobar. Solo hay que imponer la continuidad en los dos puntos donde cambia la definición.

Continuidad en $x=0$:

$f(0)=0^2+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

$\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{ax+b}=\sqrt{b}$

$\sqrt{b}=2\sqrt{3} \Rightarrow b=4\cdot 3=12$

Continuidad en $x=3$:

$\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=\sqrt{3a+b}=\sqrt{3a+12}$

$\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{6}=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}=3$

$\sqrt{3a+12}=3 \Rightarrow 3a+12=9 \Rightarrow 3a=-3 \Rightarrow a=-1$

Se comprueba que el radicando es positivo en todo el tramo $(0,3]$: $-x+12>0$ para todo $x\leq 3$, así que la raíz está bien definida.

Para $a=-1$ y $b=12$ la función $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

$\textbf{b) Para dichos valores, analice si } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es derivable en } \boldsymbol{x=0}\textbf{ y en } \boldsymbol{x=3}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

Con los valores obtenidos la función queda

$f(x)= \begin{cases} x^2+2\sqrt{3} & \text{si } x\leq 0\\ \sqrt{12-x} & \text{si } 0<x\leq 3\\ \dfrac{7}{2}-\dfrac{x}{6} & \text{si } x>3 \end{cases}$

Se deriva cada rama:

$f'(x)= \begin{cases} 2x & \text{si } x<0\\ \dfrac{-1}{2\sqrt{12-x}} & \text{si } 0<x<3\\ -\dfrac{1}{6} & \text{si } x>3 \end{cases}$

En $x=0$ se comparan las derivadas laterales:

$f'(0^{-})=2\cdot 0=0$

$f'(0^{+})=\dfrac{-1}{2\sqrt{12}}=\dfrac{-1}{4\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}\approx -0{,}1443$

$f'(0^{-})\neq f'(0^{+})$

La función no es derivable en $x=0$: presenta ahí un punto anguloso.

En $x=3$ se comparan de nuevo las derivadas laterales:

$f'(3^{-})=\dfrac{-1}{2\sqrt{12-3}}=\dfrac{-1}{2\sqrt{9}}=\dfrac{-1}{6}$

$f'(3^{+})=-\dfrac{1}{6}$

$f'(3^{-})=f'(3^{+})=-\dfrac{1}{6}$

Como además la función es continua en $x=3$, sí es derivable en ese punto y $f'(3)=-\dfrac{1}{6}$.

La función es derivable en $x=3$ pero no lo es en $x=0$.

$\textbf{c) Calcule el valor máximo y mínimo de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ si } \boldsymbol{x\in[6,9]}\textbf{ y las coordenadas de los puntos donde se alcanzan dichos valores.}\ (3\ \text{puntos})$

Todo el intervalo $[6,9]$ está contenido en el tramo $x>3$, donde la función es la recta

$f(x)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{x}{6}$

Su derivada es constante:

$f'(x)=-\dfrac{1}{6}<0$

La derivada no se anula nunca, así que no hay puntos críticos y la función es estrictamente decreciente en todo el intervalo. Por ser continua en un intervalo cerrado, alcanza sus valores extremos en los bordes.

$f(6)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{6}{6}=\dfrac{7}{2}-1=\dfrac{5}{2}=2{,}5$

$f(9)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{9}{6}=\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{2}=2$

El valor máximo es $2{,}5$ y se alcanza en el punto $(6\,;2{,}5)$; el valor mínimo es $2$ y se alcanza en el punto $(9,2)$.