Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

En una empresa el coste total, en euros, de producir $q$ unidades viene dado por

$C(q)=300q-10q^2+\dfrac{q^3}{3}$

a) Calcule la función coste marginal $\left(C_m(q)=C'(q)\right)$. ¿A partir de qué unidad el coste marginal aumenta al aumentar la producción? (3 puntos)

b) Determine el nivel de producción para el que se minimiza el coste medio $CM(q)=\dfrac{C(q)}{q}$. (3 puntos)

c) Si el precio de venta unitario, en euros, del artículo en el mercado es $P(q)=240-2q$, determine para qué nivel de producción se maximiza el beneficio (ingresos menos costes). (4 puntos)

$\textbf{a) Calcule la función coste marginal } \boldsymbol{\left(C_m(q)=C'(q)\right)}\textbf{. ¿A partir de qué unidad el coste marginal aumenta al aumentar la producción?}\ (3\ \text{puntos})$

El coste marginal es la derivada de la función de coste total.

$C(q)=300q-10q^2+\dfrac{q^3}{3} \Rightarrow C_m(q)=C'(q)=300-20q+q^2$

Preguntar a partir de qué unidad el coste marginal aumenta es preguntar dónde empieza a crecer la función $C_m$, así que se deriva a su vez y se estudia el signo.

$C_m'(q)=-20+2q$

$C_m'(q)=0 \Rightarrow 2q=20 \Rightarrow q=10$

$\begin{cases} \text{Si } q=5,\quad C_m'(5)=-20+10=-10<0 \\ \text{Si } q=15,\quad C_m'(15)=-20+30=10>0 \end{cases}$



El coste marginal decrece hasta $q=10$ y crece a partir de ahí.

La función coste marginal es $C_m(q)=q^2-20q+300$ y aumenta al aumentar la producción a partir de la unidad $q=10$.

$\textbf{b) Determine el nivel de producción para el que se minimiza el coste medio } \boldsymbol{CM(q)=\dfrac{C(q)}{q}}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Se plantea la función coste medio y se simplifica antes de derivar.

$CM(q)=\dfrac{300q-10q^2+\dfrac{q^3}{3}}{q}=300-10q+\dfrac{q^2}{3}$

Se deriva y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$CM'(q)=-10+\dfrac{2q}{3}$

$CM'(q)=0 \Rightarrow \dfrac{2q}{3}=10 \Rightarrow q=15$

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un mínimo.

$CM''(q)=\dfrac{2}{3}>0$



Se calcula el coste medio en ese punto:

$CM(15)=300-150+\dfrac{225}{3}=300-150+75=225$

El coste medio se minimiza produciendo $15$ unidades, y ese coste medio mínimo es de $225\ \text{€}$ por unidad.

$\textbf{c) Si el precio de venta unitario, en euros, del artículo en el mercado es } \boldsymbol{P(q)=240-2q}\textbf{, determine para qué nivel de producción se maximiza el beneficio (ingresos menos costes).}\ (4\ \text{puntos})$

El ingreso es el precio unitario por el número de unidades vendidas, y el beneficio es la diferencia entre ingreso y coste.

$I(q)=P(q)\cdot q=(240-2q)q=240q-2q^2$

$B(q)=I(q)-C(q)=240q-2q^2-\left(300q-10q^2+\dfrac{q^3}{3}\right)$

$B(q)=-\dfrac{q^3}{3}+8q^2-60q$

Se deriva la función beneficio y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$B'(q)=-q^2+16q-60$

$B'(q)=0 \Rightarrow q^2-16q+60=0 \Rightarrow q=\dfrac{16\pm\sqrt{256-240}}{2}=\dfrac{16\pm 4}{2}$

$\begin{cases} q=6 \\ q=10 \end{cases}$

Se caracterizan los dos puntos críticos con la segunda derivada.

$B''(q)=-2q+16$

$\begin{cases} B''(6)=-12+16=4>0 \Rightarrow \text{mínimo relativo} \\ B''(10)=-20+16=-4<0 \Rightarrow \text{máximo relativo} \end{cases}$



El beneficio se maximiza con un nivel de producción de $q=10$ unidades. Conviene señalar que en ese punto

$B(10)=-\dfrac{1000}{3}+800-600=-\dfrac{400}{3}\approx -133{,}33$

sigue siendo negativo: con esta estructura de costes y este precio de mercado la empresa no llega a obtener beneficios, y $q=10$ es simplemente el nivel de producción en el que las pérdidas son menores.