Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}m&0&-1\\0&2&3\\4&1&-2\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}$

a) Calcule el valor de $m$ para que la ecuación matricial $X\cdot A=B$ tenga solución única. (3 puntos)

b) Para $m=1$, resuelva la ecuación matricial anterior. (4 puntos)

c) Resuelva el sistema de ecuaciones $B\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$. (3 puntos)

$\textbf{a) Calcule el valor de } \boldsymbol{m}\textbf{ para que la ecuación matricial } \boldsymbol{X\cdot A=B}\textbf{ tenga solución única.}\ (3\ \text{puntos})$

Se despeja $X$ multiplicando por la derecha por la inversa de $A$:

$X\cdot A=B \Rightarrow X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1} \Rightarrow X=B\cdot A^{-1}$

La ecuación tiene solución única exactamente cuando $A$ es inversible, es decir, cuando su determinante no se anula.

$|A|= \begin{vmatrix}m&0&-1\\0&2&3\\4&1&-2\end{vmatrix} =m(2\cdot(-2)-3\cdot 1)-0+(-1)(0\cdot 1-2\cdot 4)$

$|A|=m(-4-3)-1(0-8)=-7m+8$

$|A|=0 \Rightarrow -7m+8=0 \Rightarrow m=\dfrac{8}{7}$

La ecuación matricial $X\cdot A=B$ tiene solución única para todo $m\neq\dfrac{8}{7}$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{m=1}\textbf{, resuelva la ecuación matricial anterior.}\ (4\ \text{puntos})$

Para $m=1$ la matriz es

$A= \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&2&3\\4&1&-2\end{pmatrix}, \qquad |A|=-7\cdot 1+8=1\neq 0$

Se calcula la inversa por el método de los adjuntos.

1) Se calcula la matriz de los adjuntos:

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix}-7&12&-8\\-1&2&-1\\2&-3&2\end{pmatrix}$

2) Se calcula su traspuesta:

$(\operatorname{Adj}(A))^{t}= \begin{pmatrix}-7&-1&2\\12&2&-3\\-8&-1&2\end{pmatrix}$

3) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}(\operatorname{Adj}(A))^{t} = \begin{pmatrix}-7&-1&2\\12&2&-3\\-8&-1&2\end{pmatrix}$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X=B\cdot A^{-1}= \begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-7&-1&2\\12&2&-3\\-8&-1&2\end{pmatrix}$

Desarrollando cada elemento:

$X= \begin{pmatrix} 0\cdot(-7)+1\cdot 12+1\cdot(-8) & 0\cdot(-1)+1\cdot 2+1\cdot(-1) & 0\cdot 2+1\cdot(-3)+1\cdot 2 \\ 1\cdot(-7)+0\cdot 12+1\cdot(-8) & 1\cdot(-1)+0\cdot 2+1\cdot(-1) & 1\cdot 2+0\cdot(-3)+1\cdot 2 \\ 1\cdot(-7)+(-1)\cdot 12+0\cdot(-8) & 1\cdot(-1)+(-1)\cdot 2+0\cdot(-1) & 1\cdot 2+(-1)\cdot(-3)+0\cdot 2 \end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix}4&1&-1\\-15&-2&4\\-19&-3&5\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$X\cdot A= \begin{pmatrix}4&1&-1\\-15&-2&4\\-19&-3&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&2&3\\4&1&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}=B$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}4&1&-1\\-15&-2&4\\-19&-3&5\end{pmatrix}$.

$\textbf{c) Resuelva el sistema de ecuaciones } \boldsymbol{B\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Es un sistema homogéneo, así que siempre es compatible. Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes para saber de qué tipo.

$|B|= \begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&-1&0\end{vmatrix} =0(0+1)-1(0-1)+1(-1-0)=0+1-1=0$

El determinante se anula, pero el menor $\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq 0$ garantiza que $\operatorname{rg}(B)=2$. Por ser homogéneo, el rango de la ampliada coincide, así que el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Se escriben las ecuaciones:

$\begin{cases} y+z=0\\ x+z=0\\ x-y=0 \end{cases}$

Se toma $z=\lambda$ como parámetro. De la primera ecuación, $y=-\lambda$, y de la segunda, $x=-\lambda$. Se comprueba la tercera:

$x-y=-\lambda-(-\lambda)=0$

El sistema es compatible indeterminado y su solución es $x=-\lambda$, $y=-\lambda$, $z=\lambda$, con $\lambda\in\mathbb{R}$.