Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Se pretende analizar el consumo anual en alimentación y bebidas en los hogares españoles. Dicha variable sigue una distribución normal con una desviación típica de 3.000 euros.

a) Si deseamos obtener un intervalo de confianza al 96 % para la media de dicha variable, ¿cuántas familias tenemos que encuestar para que la amplitud del intervalo no sea superior de 2.000 euros? (5 puntos)

b) En una muestra de 60 hogares se obtuvo un consumo medio anual en alimentación y bebidas de 17.000 euros, halle el intervalo de confianza al 96 % para la media de dicha variable. (4 puntos)

c) Si desde una asociación de consumidores se afirma «el consumo anual medio en alimentación y bebidas en hogares es de 20.000 euros al año». Razone, a la vista del apartado b), si hay motivos para dudar de su afirmación. (1 punto)

$\textbf{a) Si deseamos obtener un intervalo de confianza al 96 \% para la media de dicha variable, ¿cuántas familias tenemos que encuestar para que la amplitud del intervalo no sea superior de 2.000 euros?}\ (5\ \text{puntos})$

El intervalo de confianza para la media de una población normal de desviación típica conocida tiene amplitud $2E$, donde

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si la amplitud no debe pasar de $2000$ euros, el error no debe pasar de la mitad:

$E\leq 1000$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 96 \%, $\alpha=0{,}04$ y $\alpha/2=0{,}02$:

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}98$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $0{,}98$ es $0{,}9798$, que corresponde a $z_{\alpha/2}=2{,}05$.



Se sustituye en la fórmula del error y se despeja $n$, con $\sigma=3000$:

$2{,}05\cdot\dfrac{3000}{\sqrt{n}}\leq 1000 \Rightarrow \sqrt{n}\geq\dfrac{2{,}05\cdot 3000}{1000}=6{,}15$

$n\geq 6{,}15^{2}=37{,}82$

Como $n$ debe ser un número entero y la desigualdad ha de cumplirse, se toma el entero inmediatamente superior.

Hay que encuestar como mínimo a $38$ familias.

$\textbf{b) En una muestra de 60 hogares se obtuvo un consumo medio anual en alimentación y bebidas de 17.000 euros, halle el intervalo de confianza al 96 \% para la media de dicha variable.}\ (4\ \text{puntos})$

Los datos son $\overline{x}=17000$, $\sigma=3000$ y $n=60$, y el valor crítico es el mismo del apartado anterior, $z_{\alpha/2}=2{,}05$.

Se calcula el error:

$E=2{,}05\cdot\dfrac{3000}{\sqrt{60}}=\dfrac{6150}{7{,}746}\approx 793{,}96$

$IC=\left(\overline{x}-E\;;\;\overline{x}+E\right)=(17000-793{,}96\;;\;17000+793{,}96)$

El intervalo de confianza al 96 \% para el consumo medio anual es $(16206{,}04\;;\;17793{,}96)$ euros.

$\textbf{c) Si desde una asociación de consumidores se afirma «el consumo anual medio en alimentación y bebidas en hogares es de 20.000 euros al año». Razone, a la vista del apartado b), si hay motivos para dudar de su afirmación.}\ (1\ \text{punto})$

Basta comprobar si el valor que afirma la asociación pertenece al intervalo calculado.

$20000\notin(16206{,}04\;;\;17793{,}96)$

El valor $20000$ queda muy por encima del extremo superior del intervalo.

Sí hay motivos para dudar de la afirmación: con los datos de la muestra y al 96 \% de confianza, el consumo medio anual no llega a los 20.000 euros.