Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Responda a las siguientes cuestiones:

a) La probabilidad de que un autobús escolar llegue con retraso en un día nublado es de 0,08 y en un día despejado 0,004. Durante un periodo de 20 días ha habido 8 días nublados y 12 días despejados. Para un día elegido al azar, ¿cuál será la probabilidad de que el autobús llegue con retraso? (6 puntos)

b) De los sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio se sabe que $P(A)=\dfrac{3}{8}$, $P(B)=\dfrac{5}{8}$ y $P(A\cup B)=\dfrac{3}{4}$. Calcule $P(A\cap B)$, $P(A/B)$ y $P(A\cap\bar{B})$. Justifique si $A$ y $B$ son dos sucesos independientes. (4 puntos)

$\textbf{a) La probabilidad de que un autobús escolar llegue con retraso en un día nublado es de 0,08 y en un día despejado 0,004. Durante un periodo de 20 días ha habido 8 días nublados y 12 días despejados. Para un día elegido al azar, ¿cuál será la probabilidad de que el autobús llegue con retraso?}\ (6\ \text{puntos})$

Se nombran los sucesos que intervienen en el enunciado:

$N \equiv$ el día elegido es nublado,

$D \equiv$ el día elegido es despejado,

$R \equiv$ el autobús llega con retraso.

De los 20 días, 8 son nublados y 12 despejados, así que:

$P(N)=\dfrac{8}{20}=0{,}4,\qquad P(D)=\dfrac{12}{20}=0{,}6$

$P(R/N)=0{,}08,\qquad P(R/D)=0{,}004$

Se hace un diagrama de árbol con toda la información.



Los sucesos $N$ y $D$ forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(N)P(R/N)+P(D)P(R/D)$

$P(R)=0{,}4\cdot 0{,}08+0{,}6\cdot 0{,}004=0{,}032+0{,}0024$

$P(R)=0{,}0344$

La probabilidad de que el autobús llegue con retraso un día elegido al azar es $0{,}0344$.

$\textbf{b) De los sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ de un mismo experimento aleatorio se sabe que } \boldsymbol{P(A)=\dfrac{3}{8}}\textbf{, } \boldsymbol{P(B)=\dfrac{5}{8}}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A\cup B)=\dfrac{3}{4}}\textbf{. Calcule } \boldsymbol{P(A\cap B)}\textbf{, } \boldsymbol{P(A/B)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A\cap\bar{B})}\textbf{. Justifique si } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ son dos sucesos independientes.}\ (4\ \text{puntos})$

Se despeja la probabilidad de la intersección de la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \Rightarrow P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$

$P(A\cap B)=\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{8}-\dfrac{3}{4}=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$

Se aplica ahora la definición de probabilidad condicionada.

$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{5}{8}}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{8}{5}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$

Los elementos de $A$ se reparten entre los que están también en $B$ y los que no, de modo que:

$P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3-2}{8}=\dfrac{1}{8}$

Por último, dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{64}$

$P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}=\dfrac{16}{64}$

$\dfrac{15}{64}\neq\dfrac{16}{64}$

Se obtiene $P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}$, $P(A/B)=\dfrac{2}{5}$ y $P(A\cap\overline{B})=\dfrac{1}{8}$. Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes, porque $P(A\cap B)\neq P(A)\cdot P(B)$.