Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Dada $f(x)=\dfrac{mx^3-1}{x^2}$.

a) Determine el valor del parámetro $m$ para que la función tenga un extremo relativo en $x=-1$. Razone si se trata de un máximo o un mínimo relativo. (6 puntos)

b) Calcule el valor de $m$ para que $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx=4$. (4 puntos)

Antes de derivar conviene reescribir la función separando el cociente en dos sumandos, que resulta mucho más cómodo:

$f(x)=\dfrac{mx^3-1}{x^2}=\dfrac{mx^3}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}=mx-x^{-2}$

El dominio de la función es $\mathbb{R}-\{0\}$.

$\textbf{a) Determine el valor del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{ para que la función tenga un extremo relativo en } \boldsymbol{x=-1}\textbf{. Razone si se trata de un máximo o un mínimo relativo.}\ (6\ \text{puntos})$

En un extremo relativo de una función derivable la derivada primera se anula, así que se deriva y se impone $f'(-1)=0$.

$f'(x)=m+2x^{-3}=m+\dfrac{2}{x^3}$

$f'(-1)=m+\dfrac{2}{(-1)^3}=m-2$

$f'(-1)=0 \Rightarrow m-2=0 \Rightarrow m=2$

Para caracterizar el extremo se recurre a la segunda derivada.

$f''(x)=-6x^{-4}=-\dfrac{6}{x^4}$

$f''(-1)=-\dfrac{6}{(-1)^4}=-6<0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $x=-1$ la función presenta un máximo relativo. Se calcula su ordenada con $m=2$:

$f(-1)=2\cdot(-1)-\dfrac{1}{(-1)^2}=-2-1=-3$

Se completa el estudio con la recta de signos de la derivada, teniendo en cuenta que $x=0$ no pertenece al dominio.

$\begin{cases} \text{Si } x=-2,\quad f'(-2)=2-\dfrac{2}{8}=1{,}75>0 \\ \text{Si } x=-0{,}5,\quad f'(-0{,}5)=2-16=-14<0 \\ \text{Si } x=1,\quad f'(1)=2+2=4>0 \end{cases}$



Para $m=2$ la función tiene un extremo relativo en $x=-1$, y se trata de un máximo relativo de coordenadas $(-1,-3)$.

$\textbf{b) Calcule el valor de } \boldsymbol{m}\textbf{ para que } \boldsymbol{\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx=4}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

Se calcula la integral definida dejando $m$ como parámetro y después se impone que valga $4$. Se integra la expresión ya simplificada.

$\int (mx-x^{-2})\,dx=m\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^{-1}}{-1}=\dfrac{mx^2}{2}+\dfrac{1}{x}$

El intervalo $[1,2]$ no contiene el punto $x=0$, así que la primitiva es válida en todo él. Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_{1}^{2} f(x)\,dx =\left[\dfrac{mx^2}{2}+\dfrac{1}{x}\right]_{1}^{2} =\left(\dfrac{4m}{2}+\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{m}{2}+1\right)$

$=2m+\dfrac{1}{2}-\dfrac{m}{2}-1=\dfrac{3m}{2}-\dfrac{1}{2}$

Se impone la condición del enunciado:

$\dfrac{3m}{2}-\dfrac{1}{2}=4 \Rightarrow \dfrac{3m}{2}=\dfrac{9}{2} \Rightarrow 3m=9$

$m=3$

Para $m=3$ se cumple que $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx=4$.