Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

El coste total de fabricación, en euros, de cierto producto viene dado por la función $C(x)=x^2+80x+10.000$, donde $x$ representa el número de unidades producidas y vendidas.

a) Si cada producto se vende a 400 euros, plantee la función beneficio (ingresos menos costes) en función del número de unidades producidas y vendidas. Determine el número de unidades del producto que deben venderse para que el beneficio sea máximo (justificando que lo es). ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo? (5 puntos)

b) ¿En qué nivel de producción se minimiza el coste medio por unidad $CM(x)=\dfrac{C(x)}{x}$? (5 puntos)

$\textbf{a) Si cada producto se vende a 400 euros, plantee la función beneficio (ingresos menos costes) en función del número de unidades producidas y vendidas. Determine el número de unidades del producto que deben venderse para que el beneficio sea máximo (justificando que lo es). ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?}\ (5\ \text{puntos})$

El ingreso es el precio de venta por el número de unidades vendidas, y el beneficio es la diferencia entre el ingreso y el coste.

$I(x)=400x$

$B(x)=I(x)-C(x)=400x-(x^2+80x+10000)$

$B(x)=-x^2+320x-10000$

Se deriva la función beneficio y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$B'(x)=-2x+320$

$B'(x)=0 \Rightarrow -2x+320=0 \Rightarrow x=160$

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B''(x)=-2 \Rightarrow B''(160)=-2<0$



La función beneficio presenta un máximo en $x=160$. Se calcula el beneficio en ese punto:

$B(160)=-160^2+320\cdot 160-10000=-25600+51200-10000=15600$

Deben venderse $160$ unidades del producto y el beneficio máximo asciende a $15600\ \text{€}$.

$\textbf{b) ¿En qué nivel de producción se minimiza el coste medio por unidad } \boldsymbol{CM(x)=\dfrac{C(x)}{x}}\textbf{?}\ (5\ \text{puntos})$

Se plantea la función coste medio y se simplifica antes de derivar.

$CM(x)=\dfrac{x^2+80x+10000}{x}=x+80+\dfrac{10000}{x}$

Se deriva y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$CM'(x)=1-\dfrac{10000}{x^2}$

$CM'(x)=0 \Rightarrow 1-\dfrac{10000}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=10000 \Rightarrow x=\pm 100$

Se descarta la solución negativa por no tener sentido un número de unidades producidas menor que cero.

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un mínimo.

$CM''(x)=\dfrac{20000}{x^3} \Rightarrow CM''(100)=\dfrac{20000}{10^6}>0$



La función coste medio presenta un mínimo en $x=100$. Se calcula el coste medio en ese punto:

$CM(100)=100+80+\dfrac{10000}{100}=100+80+100=280$

El coste medio por unidad se minimiza produciendo $100$ unidades, y ese coste medio mínimo es de $280\ \text{€}$ por unidad.