Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}-2&0&1\\5&-1&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&-1&1\\0&1&0\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}1&0&2\\4&-1&3\end{pmatrix}$ y la ecuación matricial $XB+A=C$, determine razonadamente el orden (dimensión) de la matriz $X$ para que la ecuación matricial esté bien planteada. Despeje la matriz $X$ y resuelva dicha ecuación matricial. (5 puntos)

b) Calcule, utilizando técnicas matriciales, la solución del sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{cases}2x-5y+3z=1\\x-y+z=1\\3x+3y+z=5\end{cases}$ (5 puntos)

$\textbf{a) Dadas las matrices } A=\begin{pmatrix}-2&0&1\\5&-1&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&-1&1\\0&1&0\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}1&0&2\\4&-1&3\end{pmatrix}\ \textbf{y la ecuación matricial } \boldsymbol{XB+A=C}\textbf{, determine razonadamente el orden (dimensión) de la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ para que la ecuación matricial esté bien planteada. Despeje la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ y resuelva dicha ecuación matricial.}\ (5\ \text{puntos})$

Para que la suma $XB+A$ tenga sentido, el producto $XB$ debe tener el mismo orden que $A$, que es $2\times 3$. Como $B$ es de orden $3\times 3$ y multiplica a $X$ por la derecha, la matriz $X$ ha de ser de orden $2\times 3$.

Se despeja $X$ multiplicando por la derecha por la inversa de $B$.

$XB+A=C \Rightarrow XB=C-A$

$XB\cdot B^{-1}=(C-A)B^{-1} \Rightarrow X=(C-A)B^{-1}$

Se calcula primero la matriz $C-A$.

$C-A= \begin{pmatrix}1&0&2\\4&-1&3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2&0&1\\5&-1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&0&1\\-1&0&2\end{pmatrix}$

Se calcula ahora la inversa de $B$ por el método de los adjuntos.

1) Se calcula el determinante:

$|B|= \begin{vmatrix}1&2&0\\2&-1&1\\0&1&0\end{vmatrix} =1(0-1)-2(0-0)+0(2-0)=-1\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $B$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos:

$\operatorname{Adj}(B)= \begin{pmatrix}-1&0&2\\0&0&-1\\2&-1&-5\end{pmatrix}$

3) Se traspone y se aplica la fórmula. La matriz de los adjuntos resulta ser simétrica, así que su traspuesta coincide con ella:

$B^{-1}=\dfrac{1}{|B|}(\operatorname{Adj}(B))^{t} =\dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix}-1&0&2\\0&0&-1\\2&-1&-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&-2\\0&0&1\\-2&1&5\end{pmatrix}$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X= \begin{pmatrix}3&0&1\\-1&0&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&0&-2\\0&0&1\\-2&1&5\end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix} 3\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot(-2) & 3\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 1 & 3\cdot(-2)+0\cdot 1+1\cdot 5 \\ (-1)\cdot 1+0\cdot 0+2\cdot(-2) & (-1)\cdot 0+0\cdot 0+2\cdot 1 & (-1)\cdot(-2)+0\cdot 1+2\cdot 5 \end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix}1&1&-1\\-5&2&12\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$XB= \begin{pmatrix}1&1&-1\\-5&2&12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&0\\2&-1&1\\0&1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&0&1\\-1&0&2\end{pmatrix}=C-A$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-5&2&12\end{pmatrix}$, de orden $2\times 3$.

$\textbf{b) Calcule, utilizando técnicas matriciales, la solución del sistema de ecuaciones lineales.}\ (5\ \text{puntos})$

Se escribe el sistema en forma matricial:

$\begin{pmatrix}2&-5&3\\1&-1&1\\3&3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}$

Se llama $M$ a la matriz de los coeficientes y se calcula su determinante para discutir el sistema.

$|M|= \begin{vmatrix}2&-5&3\\1&-1&1\\3&3&1\end{vmatrix} =2(-1-3)+5(1-3)+3(3+3)=-8-10+18=0$

El determinante es cero, así que la matriz no tiene inversa y hay que estudiar los rangos. El menor

$\begin{vmatrix}2&-5\\1&-1\end{vmatrix}=-2+5=3\neq 0$

garantiza que $\operatorname{rg}(M)=2$.

Se estudia el rango de la matriz ampliada orlando ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}2&-5&1\\1&-1&1\\3&3&5\end{vmatrix} =2(-5-3)+5(5-3)+1(3+3)=-16+10+6=0$

Por tanto $\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M|B)=2<3$ y, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Se resuelve tomando las dos primeras ecuaciones —las del menor no nulo— y pasando $z=\lambda$ al segundo miembro:

$\begin{cases} 2x-5y=1-3\lambda\\ x-y=1-\lambda \end{cases}$

De la segunda ecuación, $x=1-\lambda+y$. Se sustituye en la primera:

$2(1-\lambda+y)-5y=1-3\lambda \Rightarrow 2-2\lambda-3y=1-3\lambda$

$-3y=-1-\lambda \Rightarrow y=\dfrac{1+\lambda}{3}$

$x=1-\lambda+\dfrac{1+\lambda}{3}=\dfrac{3-3\lambda+1+\lambda}{3}=\dfrac{4-2\lambda}{3}$

Se comprueba la tercera ecuación:

$3\cdot\dfrac{4-2\lambda}{3}+3\cdot\dfrac{1+\lambda}{3}+\lambda=(4-2\lambda)+(1+\lambda)+\lambda=5$

El sistema es compatible indeterminado y su solución es $x=\dfrac{4-2\lambda}{3}$, $y=\dfrac{1+\lambda}{3}$, $z=\lambda$, con $\lambda\in\mathbb{R}$.