Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Se sabe que el tiempo dedicado semanalmente a las tareas del hogar se distribuye según una normal con desviación típica 2 horas.

a) Para una muestra aleatoria de 64 hogares, el tiempo medio semanal dedicado a las tareas del hogar es de 10 horas. Determine un intervalo de confianza al 95 % para la media de horas dedicadas semanalmente a las tareas del hogar. (4 puntos)

b) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para que el error que se cometa al estimar la media de la población por un intervalo de confianza sea, como máximo, de 0,75 horas, con un nivel de confianza del 95 %. (4 puntos)

c) A partir de una muestra de 81 hogares se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza $(9{,}8444;\,10{,}7555)$ para la media de la población. Determine el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo. (2 puntos)

$\textbf{a) Para una muestra aleatoria de 64 hogares, el tiempo medio semanal dedicado a las tareas del hogar es de 10 horas. Determine un intervalo de confianza al 95 \% para la media de horas dedicadas semanalmente a las tareas del hogar.}\ (4\ \text{puntos})$

Se estima la media de una población normal de desviación típica conocida, así que el intervalo de confianza es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\;;\;\overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos son $\overline{x}=10$, $\sigma=2$ y $n=64$.

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 95 \%, $\alpha/2=0{,}025$ y

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



Se calcula el error o semiamplitud del intervalo:

$E=1{,}96\cdot\dfrac{2}{\sqrt{64}}=1{,}96\cdot\dfrac{2}{8}=1{,}96\cdot 0{,}25=0{,}49$

$IC=(10-0{,}49\;;\;10+0{,}49)$

El intervalo de confianza al 95 \% para la media de horas semanales dedicadas a las tareas del hogar es $(9{,}51\;;\;10{,}49)$ horas.

$\textbf{b) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para que el error que se cometa al estimar la media de la población por un intervalo de confianza sea, como máximo, de 0,75 horas, con un nivel de confianza del 95 \%.}\ (4\ \text{puntos})$

Se impone que el error no pase de $0{,}75$ y se despeja $n$. El valor crítico es el mismo del apartado anterior, $z_{\alpha/2}=1{,}96$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq 0{,}75 \Rightarrow 1{,}96\cdot\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leq 0{,}75$

$\sqrt{n}\geq\dfrac{1{,}96\cdot 2}{0{,}75}=\dfrac{3{,}92}{0{,}75}=5{,}2267$

$n\geq 5{,}2267^{2}=27{,}32$

Como $n$ debe ser un número entero y la desigualdad ha de cumplirse, se toma el entero inmediatamente superior.

Hay que encuestar como mínimo a $28$ hogares.

$\textbf{c) A partir de una muestra de 81 hogares se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza } \boldsymbol{(9{,}8444;\,10{,}7555)}\textbf{ para la media de la población. Determine el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo.}\ (2\ \text{puntos})$

Se recorre el camino inverso: del intervalo se obtiene el error, del error el valor crítico y del valor crítico el nivel de confianza.

El error es la semiamplitud del intervalo:

$E=\dfrac{10{,}7555-9{,}8444}{2}=\dfrac{0{,}9111}{2}=0{,}45555$

Se despeja el valor crítico de la fórmula del error, con $\sigma=2$ y $n=81$:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow z_{\alpha/2}=\dfrac{E\sqrt{n}}{\sigma}=\dfrac{0{,}45555\cdot 9}{2}$

$z_{\alpha/2}=2{,}05$

Se busca en la tabla de la $N(0,1)$:

$P(Z\leq 2{,}05)=0{,}9798=1-\dfrac{\alpha}{2} \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}0202 \Rightarrow \alpha=0{,}0404$

$1-\alpha=1-0{,}0404=0{,}9596$



El intervalo se ha construido con un nivel de confianza del $95{,}96\ \%$, aproximadamente el 96 \%.