Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

En cierta Facultad de Economía se oferta una misma asignatura en tres grupos, que denotaremos por G1, G2, G3. Los grupos representan el 40 %, el 35 % y el 25 % de los estudiantes, respectivamente. Superan la asignatura el 80 % del grupo G1, el 60 % del grupo G2 y el 92 % del grupo G3. Calcule la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar:

a) Haya superado la asignatura y sea del grupo G3. (2 puntos)

b) No haya superado la asignatura. (2 puntos)

c) Haya superado la asignatura. (2 puntos)

d) Ni haya superado la asignatura ni sea del grupo G1. (2 puntos)

e) Si el estudiante elegido al azar ha superado la asignatura, calcule la probabilidad de ser del grupo G3. (2 puntos)

Se nombran los sucesos que intervienen en el enunciado:

$G_1,\ G_2,\ G_3 \equiv$ el estudiante elegido pertenece al grupo G1, G2 o G3, respectivamente,

$S \equiv$ el estudiante elegido supera la asignatura.

Del enunciado se extraen las probabilidades de cada grupo y las probabilidades condicionadas de superar la asignatura dentro de cada uno:

$P(G_1)=0{,}40,\qquad P(G_2)=0{,}35,\qquad P(G_3)=0{,}25$

$P(S/G_1)=0{,}80,\qquad P(S/G_2)=0{,}60,\qquad P(S/G_3)=0{,}92$

Se hace un diagrama de árbol con toda la información.



$\textbf{a) Haya superado la asignatura y sea del grupo G3.}\ (2\ \text{puntos})$

Se pide la probabilidad de la intersección, que es el producto de las probabilidades de la rama correspondiente del árbol.

$P(G_3\cap S)=P(G_3)\cdot P(S/G_3)=0{,}25\cdot 0{,}92$

$P(G_3\cap S)=0{,}23$

La probabilidad de que el estudiante elegido haya superado la asignatura y sea del grupo G3 es $0{,}23$.

$\textbf{b) No haya superado la asignatura.}\ (2\ \text{puntos})$

Se calcula primero la probabilidad de superar la asignatura, que hace falta también en los apartados siguientes. Los tres grupos forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(S)=P(G_1)P(S/G_1)+P(G_2)P(S/G_2)+P(G_3)P(S/G_3)$

$P(S)=0{,}40\cdot 0{,}80+0{,}35\cdot 0{,}60+0{,}25\cdot 0{,}92$

$P(S)=0{,}32+0{,}21+0{,}23=0{,}76$

No superar la asignatura es el suceso contrario:

$P(\overline{S})=1-P(S)=1-0{,}76=0{,}24$

La probabilidad de que el estudiante elegido no haya superado la asignatura es $0{,}24$.

$\textbf{c) Haya superado la asignatura.}\ (2\ \text{puntos})$

Ya se ha calculado en el apartado anterior aplicando el teorema de la probabilidad total.

$P(S)=0{,}76$

La probabilidad de que el estudiante elegido haya superado la asignatura es $0{,}76$.

$\textbf{d) Ni haya superado la asignatura ni sea del grupo G1.}\ (2\ \text{puntos})$

Se pide $P(\overline{S}\cap\overline{G_1})$. Los alumnos que no superan la asignatura se reparten entre los tres grupos, así que basta descontar del total de suspensos los que son del grupo G1.

$P(\overline{S}\cap\overline{G_1})=P(\overline{S})-P(\overline{S}\cap G_1)$

$P(\overline{S}\cap G_1)=P(G_1)\cdot P(\overline{S}/G_1)=0{,}40\cdot 0{,}20=0{,}08$

$P(\overline{S}\cap\overline{G_1})=0{,}24-0{,}08=0{,}16$

La probabilidad de que el estudiante elegido ni haya superado la asignatura ni sea del grupo G1 es $0{,}16$.

$\textbf{e) Si el estudiante elegido al azar ha superado la asignatura, calcule la probabilidad de ser del grupo G3.}\ (2\ \text{puntos})$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado y se pregunta por la causa. Se aplica el teorema de Bayes.

$P(G_3/S)=\dfrac{P(G_3)\cdot P(S/G_3)}{P(S)} =\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}92}{0{,}76} =\dfrac{0{,}23}{0{,}76}$

$P(G_3/S)=\dfrac{23}{76}\approx 0{,}3026$

Sabiendo que el estudiante ha superado la asignatura, la probabilidad de que sea del grupo G3 es $\dfrac{23}{76}\approx 0{,}3026$.