Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sean las funciones $g(x)=a\left(1-\dfrac{1}{2}x\right)^3$, $h(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x^2-x}$.

a) Calcule $\displaystyle\lim_{x\to 1} h(x)$. (3 puntos)

b) Determine el valor de $a\in\mathbb{R}$ para que $f(x)=\begin{cases}g(x) & \text{si } x\le 1\\ h(x) & \text{si } x>1\end{cases}$ sea continua en $x=1$, siendo $g(x)$, $h(x)$ las funciones del enunciado. (4 puntos)

c) Calcule $\displaystyle\int_{0}^{2}(1-2x)^3\,dx$. (3 puntos)

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to 1} h(x)}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Se sustituye directamente para ver de qué tipo es el límite.

$\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+x-2}{x^2-x}=\dfrac{1+1-2}{1-1}=\dfrac{0}{0}$

Es una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$ entre polinomios: se factorizan numerador y denominador para simplificar el factor común.

$x^2+x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2} \Rightarrow \begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}$

$x^2+x-2=(x-1)(x+2),\qquad x^2-x=x(x-1)$

$\lim_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)} =\lim_{x\to 1}\dfrac{x+2}{x} =\dfrac{1+2}{1}$

$\lim_{x\to 1} h(x)=3$

El límite de $h(x)$ cuando $x$ tiende a $1$ vale $3$.

$\textbf{b) Determine el valor de } \boldsymbol{a\in\mathbb{R}}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)=\begin{cases}g(x) & \text{si } x\le 1\\ h(x) & \text{si } x>1\end{cases}}\textbf{ sea continua en } \boldsymbol{x=1}\textbf{, siendo } \boldsymbol{g(x)}\textbf{, } \boldsymbol{h(x)}\textbf{ las funciones del enunciado.}\ (4\ \text{puntos})$

Para que una función definida a trozos sea continua en el punto donde cambia la expresión, deben coincidir los dos límites laterales y el valor de la función:

$\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=f(1)$

Se calcula el valor de la función en $x=1$, que viene dado por la primera rama:

$f(1)=g(1)=a\left(1-\dfrac{1}{2}\cdot 1\right)^{3}=a\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{a}{8}$

El límite por la izquierda coincide con ese valor, porque $g$ es una función polinómica y por tanto continua:

$\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\dfrac{a}{8}$

El límite por la derecha es el que se ha calculado en el apartado anterior:

$\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\lim_{x\to 1} h(x)=3$

Se impone la igualdad:

$\dfrac{a}{8}=3 \Rightarrow a=24$

Para $a=24$ la función $f(x)$ es continua en $x=1$.

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{2}(1-2x)^3\,dx}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

El integrando es una potencia de una función lineal. Se ajusta la derivada de la base, que vale $-2$:

$\int (1-2x)^3\,dx =-\dfrac{1}{2}\int (-2)(1-2x)^3\,dx =-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(1-2x)^4}{4} =-\dfrac{(1-2x)^4}{8}$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_{0}^{2}(1-2x)^3\,dx =\left[-\dfrac{(1-2x)^4}{8}\right]_{0}^{2} =-\dfrac{(1-4)^4}{8}+\dfrac{(1-0)^4}{8}$

$=-\dfrac{(-3)^4}{8}+\dfrac{1}{8} =-\dfrac{81}{8}+\dfrac{1}{8} =-\dfrac{80}{8}$

$\int_{0}^{2}(1-2x)^3\,dx=-10$

El valor de la integral definida es $-10$. Es negativo porque en casi todo el intervalo de integración la función toma valores negativos.