Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Sea $P(t)=1.000\left(15+\dfrac{t}{100+t^2}\right)$ una función que representa el número de habitantes de cierta población, siendo $t$ el número de años transcurridos desde el año 2.000. Se pide:

a) Calcule el tamaño de la población en un horizonte infinito de tiempo. (2 puntos)

b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la población. ¿En qué momento la población es máxima? ¿Y cuántos habitantes tiene la población en ese momento? (5 puntos)

c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para obtener una población de 15.040 individuos? (3 puntos)

$\textbf{a) Calcule el tamaño de la población en un horizonte infinito de tiempo.}\ (2\ \text{puntos})$

Se calcula el límite de la función cuando $t$ tiende a infinito.

$\lim_{t\to+\infty} P(t) = \lim_{t\to+\infty} 1000\left(15+\dfrac{t}{100+t^2}\right)$

En el cociente $\dfrac{t}{100+t^2}$ el grado del denominador es mayor que el del numerador, así que su límite es cero.

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{t}{100+t^2}=0$

$\lim_{t\to+\infty} P(t)=1000(15+0)=15000$

En un horizonte infinito de tiempo la población tiende a estabilizarse en $15000$ habitantes.

$\textbf{b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la población. ¿En qué momento la población es máxima? ¿Y cuántos habitantes tiene la población en ese momento?}\ (5\ \text{puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos. Se aplica la regla de derivación de un cociente al segundo sumando.

$P'(t)=1000\cdot\dfrac{1\cdot(100+t^2)-t\cdot 2t}{(100+t^2)^2} =1000\cdot\dfrac{100+t^2-2t^2}{(100+t^2)^2}$

$P'(t)=\dfrac{1000(100-t^2)}{(100+t^2)^2}$

$P'(t)=0 \Rightarrow 100-t^2=0 \Rightarrow t=\pm 10$

Se descarta la solución $t=-10$ porque $t$ cuenta años transcurridos desde el año 2000 y no puede ser negativo.

El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada es el del numerador $100-t^2$.

$\begin{cases} \text{Si } t=0,\quad P'(0)=\dfrac{1000\cdot 100}{100^2}=10>0 \\ \text{Si } t=20,\quad 100-400=-300<0 \Rightarrow P'(20)<0 \end{cases}$



La población crece en el intervalo $[0,10)$ y decrece en $(10,+\infty)$. Como pasa de crecer a decrecer, en $t=10$ hay un máximo.

$P(10)=1000\left(15+\dfrac{10}{100+100}\right)=1000\left(15+\dfrac{10}{200}\right)=1000(15+0{,}05)$

$P(10)=15050$

La población es máxima 10 años después del año 2000, es decir, en el año 2010, y en ese momento tiene $15050$ habitantes.

$\textbf{c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para obtener una población de 15.040 individuos?}\ (3\ \text{puntos})$

Se plantea la ecuación $P(t)=15040$ y se despeja $t$.

$1000\left(15+\dfrac{t}{100+t^2}\right)=15040 \Rightarrow 15+\dfrac{t}{100+t^2}=15{,}04$

$\dfrac{t}{100+t^2}=0{,}04 \Rightarrow t=0{,}04(100+t^2) \Rightarrow 0{,}04t^2-t+4=0$

Se multiplica toda la ecuación por $25$ para quitar los decimales:

$t^2-25t+100=0$

$t=\dfrac{25\pm\sqrt{625-400}}{2}=\dfrac{25\pm\sqrt{225}}{2}=\dfrac{25\pm 15}{2}$

$\begin{cases} t=\dfrac{25-15}{2}=5 \\ t=\dfrac{25+15}{2}=20 \end{cases}$

Las dos soluciones son válidas, porque ambas son positivas: la población alcanza ese tamaño una vez mientras crece y otra vez mientras decrece.

La población es de 15.040 individuos a los 5 años y a los 20 años, es decir, en los años 2005 y 2020.