Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Determine el orden (dimensión) de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $ABX=\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$ esté bien planteada, siendo $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\-12&-8&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\\1&6\end{pmatrix}$. Calcule $X$. (5 puntos)

b) Determine el valor o valores del parámetro $m$ para que el sistema $(S)$ sea compatible y calcule la solución del mismo para $m=3$.

$(S)\;\begin{cases}2x-5y+3z=0\\x-y+z=0\\3x+my+z=0\end{cases}$ (5 puntos)

$\textbf{a) Determine el orden (dimensión) de la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ para que la ecuación matricial } \boldsymbol{ABX=\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}}\textbf{ esté bien planteada, siendo } A=\begin{pmatrix}1&0&1\\-12&-8&1\end{pmatrix}\ \textbf{y } B=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\\1&6\end{pmatrix}\textbf{. Calcule } \boldsymbol{X}\textbf{.}\ (5\ \text{puntos})$

La matriz $A$ es de orden $2\times 3$ y la matriz $B$ es de orden $3\times 2$, así que el producto $AB$ es de orden $2\times 2$. Para que $(AB)X$ tenga sentido y dé como resultado una matriz de orden $2\times 1$, la matriz $X$ ha de ser de orden $2\times 1$.

Se despeja $X$:

$(AB)X=\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix} \Rightarrow X=(AB)^{-1}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$

Se calcula primero el producto $AB$:

$AB= \begin{pmatrix}1&0&1\\-12&-8&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\\1&6\end{pmatrix}$

$AB= \begin{pmatrix} 1\cdot 2+0\cdot(-3)+1\cdot 1 & 1\cdot(-1)+0\cdot 2+1\cdot 6 \\ (-12)\cdot 2+(-8)\cdot(-3)+1\cdot 1 & (-12)\cdot(-1)+(-8)\cdot 2+1\cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix}$

Se calcula su inversa por el método de los adjuntos.

1) Se calcula el determinante:

$|AB|= \begin{vmatrix}3&5\\1&2\end{vmatrix} =3\cdot 2-5\cdot 1=1\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $AB$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos y su traspuesta:

$\operatorname{Adj}(AB)= \begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj}(AB))^{t}= \begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}$

3) Se aplica la fórmula:

$(AB)^{-1}=\dfrac{1}{1} \begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X= \begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 2+(-5)\cdot(-4) \\ (-1)\cdot 2+3\cdot(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24\\-14\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$\begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}24\\-14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}72-70\\24-28\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}24\\-14\end{pmatrix}$, de orden $2\times 1$.

$\textbf{b) Determine el valor o valores del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{ para que el sistema } \boldsymbol{(S)}\textbf{ sea compatible y calcule la solución del mismo para } \boldsymbol{m=3}\textbf{.}\ (5\ \text{puntos})$

El sistema es homogéneo: todos los términos independientes son cero. Un sistema homogéneo siempre admite al menos la solución trivial $x=y=z=0$, de modo que es compatible para cualquier valor de $m$.

Para saber de qué tipo de sistema compatible se trata en cada caso, se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes.

$|M|= \begin{vmatrix}2&-5&3\\1&-1&1\\3&m&1\end{vmatrix} =2(-1-m)+5(1-3)+3(m+3)$

$|M|=-2-2m-10+3m+9=m-3$

Si $m\neq 3$, el determinante es distinto de cero, el rango de la matriz de los coeficientes es $3$ y el sistema es compatible determinado: su única solución es la trivial $(0,0,0)$.

Si $m=3$, el determinante se anula. El menor $\begin{vmatrix}2&-5\\1&-1\end{vmatrix}=-2+5=3\neq 0$ garantiza que el rango es $2$, así que el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Se resuelve el sistema para $m=3$. Se toman las dos primeras ecuaciones, que son las del menor no nulo, y se pasa $z$ al segundo miembro:

$\begin{cases} 2x-5y=-3z\\ x-y=-z \end{cases}$

De la segunda ecuación, $x=y-z$. Se sustituye en la primera:

$2(y-z)-5y=-3z \Rightarrow 2y-2z-5y=-3z \Rightarrow -3y=-z$

$z=3y$

$x=y-3y=-2y$

Se toma $y=\lambda$ como parámetro. Se comprueba la tercera ecuación:

$3(-2\lambda)+3\lambda+3\lambda=-6\lambda+6\lambda=0$

El sistema es compatible para todo valor de $m$, por ser homogéneo. Para $m=3$ es compatible indeterminado y su solución es $x=-2\lambda$, $y=\lambda$, $z=3\lambda$, con $\lambda\in\mathbb{R}$.