Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Responda a las siguientes preguntas:

a) En una ciudad, según los datos del INE, el 52 % de los habitantes son mujeres y el 48 % son hombres. Se eligen cuatro personas de esa ciudad con reemplazamiento. Sea $X$ la variable que cuenta el número de hombres seleccionados. ¿Qué distribución tiene la variable $X$? Calcule $P(X=2)$. (2 puntos)

b) Queremos realizar una encuesta entre los aficionados de un equipo de fútbol para estimar, mediante un intervalo de confianza, qué proporción piensa que su equipo va a ascender a primera división el año que viene. Usaremos un nivel de confianza del 95 %. (8 puntos)

b.1) Si queremos que el intervalo no tenga una amplitud de más de 0,08, ¿cuál es el número mínimo de aficionados a los que tenemos que preguntar? (4 puntos)

b.2) Decidimos preguntar a 120 aficionados, de los cuales 80 dicen que piensan que el equipo ascenderá. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de aficionados que piensa que el equipo va a ascender. (4 puntos)

$\textbf{a) En una ciudad, según los datos del INE, el 52 \% de los habitantes son mujeres y el 48 \% son hombres. Se eligen cuatro personas de esa ciudad con reemplazamiento. Sea } \boldsymbol{X}\textbf{ la variable que cuenta el número de hombres seleccionados. ¿Qué distribución tiene la variable } \boldsymbol{X}\textbf{? Calcule } \boldsymbol{P(X=2)}\textbf{.}\ (2\ \text{puntos})$

Se repite cuatro veces la misma experiencia —elegir una persona y mirar si es hombre—, la elección se hace con reemplazamiento, de modo que las cuatro pruebas son independientes y la probabilidad de éxito se mantiene constante en $0{,}48$. Por tanto:

$X\sim B(4\,;0{,}48)$

$P(X=k)=\binom{4}{k}\,0{,}48^{k}\,0{,}52^{\,4-k}$

$P(X=2)=\binom{4}{2}\,0{,}48^{2}\,0{,}52^{2} =6\cdot 0{,}2304\cdot 0{,}2704$

$P(X=2)=0{,}3738$

La variable $X$ sigue una distribución binomial $B(4\,;0{,}48)$ y la probabilidad de que entre las cuatro personas haya exactamente dos hombres es $0{,}3738$.

$\textbf{b.1) Si queremos que el intervalo no tenga una amplitud de más de 0,08, ¿cuál es el número mínimo de aficionados a los que tenemos que preguntar?}\ (4\ \text{puntos})$

El intervalo de confianza para una proporción tiene amplitud $2E$, donde $E$ es el error o semiamplitud:

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}$

Si la amplitud no debe pasar de $0{,}08$, el error no debe pasar de la mitad:

$E\leq 0{,}04$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 95 \%, $\alpha/2=0{,}025$ y

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



Todavía no se ha hecho la encuesta, así que no se conoce $\hat{p}$. Se toma el caso más desfavorable, que es el que hace máximo el producto $\hat{p}\,\hat{q}$:

$\hat{p}=\hat{q}=0{,}5 \Rightarrow \sqrt{\hat{p}\,\hat{q}}=0{,}5$

Se sustituye en la fórmula del error y se despeja $n$:

$1{,}96\cdot\dfrac{0{,}5}{\sqrt{n}}\leq 0{,}04 \Rightarrow \sqrt{n}\geq\dfrac{1{,}96\cdot 0{,}5}{0{,}04}=24{,}5$

$n\geq 24{,}5^{2}=600{,}25$

Como $n$ debe ser un número entero y la desigualdad ha de cumplirse, se toma el entero inmediatamente superior.

Hay que preguntar como mínimo a $601$ aficionados.

$\textbf{b.2) Decidimos preguntar a 120 aficionados, de los cuales 80 dicen que piensan que el equipo ascenderá. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de aficionados que piensa que el equipo va a ascender.}\ (4\ \text{puntos})$

Se calcula la proporción muestral:

$\hat{p}=\dfrac{80}{120}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667, \qquad \hat{q}=\dfrac{1}{3}, \qquad n=120$

Se mantiene el valor crítico del apartado anterior, $z_{\alpha/2}=1{,}96$, y se calcula el error:

$E=1{,}96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}}{120}} =1{,}96\sqrt{0{,}0018519} =1{,}96\cdot 0{,}043033$

$E\approx 0{,}0843$

$IC=\left(\hat{p}-E\;;\;\hat{p}+E\right)=(0{,}6667-0{,}0843\;;\;0{,}6667+0{,}0843)$

El intervalo de confianza al 95 \% para la proporción de aficionados que piensan que el equipo va a ascender es $(0{,}5823\;;\;0{,}7510)$.