Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En España, el 30 % de la población tiene menos de 30 años, el 50 % tiene entre 30 y 65 años y el 20 % tiene más de 65 años. Un estudio afirma que, de las personas de menos de 30 años, un 70 % tiene teléfono móvil, que de las personas entre 30 y 65 años, un 95 % tiene teléfono móvil y que de las personas de más de 65 años, un 50 % tiene teléfono móvil.

a) Se elige una persona al azar. Calcule la probabilidad de que tenga más de 65 años y posea teléfono móvil. (3 puntos)

b) Elegimos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga teléfono móvil? (2 puntos)

c) Elegimos una persona al azar y resulta que tiene teléfono móvil. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 65 años? (2 puntos)

d) Elegimos a una persona de cada uno de los tres grupos de edad. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres tengan teléfono móvil? (Puede suponerse independencia entre las tres personas). (3 puntos)

Se nombran los sucesos que intervienen en el enunciado:

$E_1 \equiv$ la persona elegida tiene menos de 30 años,

$E_2 \equiv$ la persona elegida tiene entre 30 y 65 años,

$E_3 \equiv$ la persona elegida tiene más de 65 años,

$M \equiv$ la persona elegida tiene teléfono móvil.

Del enunciado se extraen las probabilidades de cada grupo de edad y las probabilidades condicionadas de tener móvil dentro de cada grupo:

$P(E_1)=0{,}30,\qquad P(E_2)=0{,}50,\qquad P(E_3)=0{,}20$

$P(M/E_1)=0{,}70,\qquad P(M/E_2)=0{,}95,\qquad P(M/E_3)=0{,}50$

Se hace un diagrama de árbol con toda la información.



$\textbf{a) Se elige una persona al azar. Calcule la probabilidad de que tenga más de 65 años y posea teléfono móvil.}\ (3\ \text{puntos})$

Se pide la probabilidad de la intersección de los sucesos $E_3$ y $M$, que es el producto de las probabilidades de la rama correspondiente del árbol.

$P(E_3\cap M)=P(E_3)\cdot P(M/E_3)=0{,}20\cdot 0{,}50$

$P(E_3\cap M)=0{,}10$

La probabilidad de que la persona elegida tenga más de 65 años y posea teléfono móvil es $0{,}10$.

$\textbf{b) Elegimos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga teléfono móvil?}\ (2\ \text{puntos})$

Los tres grupos de edad forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(M)=P(E_1)P(M/E_1)+P(E_2)P(M/E_2)+P(E_3)P(M/E_3)$

$P(M)=0{,}30\cdot 0{,}70+0{,}50\cdot 0{,}95+0{,}20\cdot 0{,}50$

$P(M)=0{,}21+0{,}475+0{,}10=0{,}785$

La probabilidad de que la persona elegida tenga teléfono móvil es $0{,}785$.

$\textbf{c) Elegimos una persona al azar y resulta que tiene teléfono móvil. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 65 años?}\ (2\ \text{puntos})$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado final y se pregunta por la causa. Se aplica el teorema de Bayes.

$P(E_3/M)=\dfrac{P(E_3)\cdot P(M/E_3)}{P(M)} =\dfrac{0{,}20\cdot 0{,}50}{0{,}785} =\dfrac{0{,}10}{0{,}785}$

$P(E_3/M)=\dfrac{20}{157}\approx 0{,}1274$

Sabiendo que la persona elegida tiene teléfono móvil, la probabilidad de que tenga más de 65 años es $\dfrac{20}{157}\approx 0{,}1274$.

$\textbf{d) Elegimos a una persona de cada uno de los tres grupos de edad. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres tengan teléfono móvil? (Puede suponerse independencia entre las tres personas).}\ (3\ \text{puntos})$

Ahora se elige una persona dentro de cada grupo, de modo que para cada una la probabilidad de tener móvil es la del grupo al que pertenece. Al suponerse independencia, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P=P(M/E_1)\cdot P(M/E_2)\cdot P(M/E_3)=0{,}70\cdot 0{,}95\cdot 0{,}50$

$P=0{,}3325$

La probabilidad de que las tres personas elegidas tengan teléfono móvil es $0{,}3325$.