Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2-x} & \text{si } x<2\\[6pt] 1 & \text{si } x=2\\[6pt] x-\sqrt{x^2-2x} & \text{si } x>2\end{cases}$

a) Estudie la continuidad de $f(x)$. (3 puntos)

b) Calcule $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx$. (3 puntos)

c) Calcule $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$. (4 puntos)

$\textbf{a) Estudie la continuidad de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Se estudia primero cada trozo por separado y después el punto donde cambia la definición.

En $x<2$ la función es $\dfrac{1}{2-x}$, un cociente de polinomios que solo deja de ser continua donde se anula el denominador, en $x=2$, que no pertenece a ese tramo. Es continua en $(-\infty,2)$.

En $x>2$ la función es $x-\sqrt{x^2-2x}$. El radicando $x^2-2x=x(x-2)$ es positivo para todo $x>2$, así que la raíz está bien definida y la función es continua en $(2,+\infty)$.

Se estudia ahora la continuidad en $x=2$. Para que sea continua deben coincidir los dos límites laterales y el valor de la función.

$f(2)=1$

$\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}\dfrac{1}{2-x}=\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty$

El límite por la izquierda no es finito, de modo que la función no es continua en $x=2$: presenta una discontinuidad de salto infinito, y la recta $x=2$ es una asíntota vertical de la rama izquierda.

La función $f(x)$ es continua en $\mathbb{R}-\{2\}$ y discontinua en $x=2$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Todo el intervalo de integración $[0,1]$ está contenido en el tramo $x<2$, así que se integra la primera expresión.

$\int_{0}^{1} f(x)\,dx=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{2-x}\,dx$

Es una integral de tipo logarítmico. Se ajusta la derivada del denominador, que es $-1$:

$\int\dfrac{1}{2-x}\,dx =-\int\dfrac{-1}{2-x}\,dx =-\ln|2-x|$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_{0}^{1}\dfrac{1}{2-x}\,dx =\bigl[-\ln|2-x|\bigr]_{0}^{1} =-\ln|2-1|+\ln|2-0|$

$=-\ln 1+\ln 2=\ln 2\approx 0{,}6931$

El valor de la integral definida es $\ln 2\approx 0{,}6931$.

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

Cuando $x\to+\infty$ hay que usar la tercera rama de la función.

$\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^2-2x}\right)=\infty-\infty$

Se trata de una indeterminación del tipo $\infty-\infty$ con una raíz. Se multiplica y se divide por la expresión conjugada.

$\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\left(x-\sqrt{x^2-2x}\right)\left(x+\sqrt{x^2-2x}\right)}{x+\sqrt{x^2-2x}} = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-(x^2-2x)}{x+\sqrt{x^2-2x}}$

$=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{x+\sqrt{x^2-2x}}$

Ahora es un cociente en el que numerador y denominador crecen como $x$: se dividen ambos por $x$, teniendo en cuenta que para $x>0$ es $x=\sqrt{x^2}$.

$=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{1+\sqrt{\dfrac{x^2-2x}{x^2}}} =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{1+\sqrt{1-\dfrac{2}{x}}} =\dfrac{2}{1+\sqrt{1}}=\dfrac{2}{2}$

$\lim_{x\to+\infty} f(x)=1$

El límite de la función cuando $x$ tiende a más infinito es $1$, es decir, la recta $y=1$ es asíntota horizontal de la rama derecha.