Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

El cálculo del índice de progreso real (IPR) de un país viene determinado por la función $IPR(t)=-t^3+54t^2+480t+6.000$ siendo $t\in[0,62]$ el número de años transcurridos desde 1.932. Se pide:

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento del IPR del país. (4 puntos)

b) ¿En qué año el IPR alcanza su valor máximo y cuál es dicho valor? Asimismo, ¿en qué año el IPR registra su valor mínimo y cuál es dicho valor? (3 puntos)

c) Analice la concavidad y convexidad de la función $IPR(t)$, e identifique, si existe, algún punto de inflexión. (3 puntos)

$\textbf{a) Estudie el crecimiento y decrecimiento del IPR del país.}\ (4\ \text{puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$IPR(t)=-t^3+54t^2+480t+6000 \Rightarrow IPR'(t)=-3t^2+108t+480$

$IPR'(t)=0 \Rightarrow -3t^2+108t+480=0 \Rightarrow t^2-36t-160=0$

$t=\dfrac{36\pm\sqrt{(-36)^2-4\cdot(-160)}}{2} =\dfrac{36\pm\sqrt{1296+640}}{2} =\dfrac{36\pm\sqrt{1936}}{2} =\dfrac{36\pm 44}{2}$

$\begin{cases} t=\dfrac{36-44}{2}=-4 \\ t=\dfrac{36+44}{2}=40 \end{cases}$

Se descarta la solución $t=-4$ por no pertenecer al dominio $[0,62]$, ya que $t$ cuenta años transcurridos desde 1932.

Se hace un estudio de signos de la derivada a ambos lados de $t=40$.

$\begin{cases} \text{Si } t=0,\quad IPR'(0)=480>0 \\ \text{Si } t=50,\quad IPR'(50)=-7500+5400+480=-1620<0 \end{cases}$



El IPR del país crece en el intervalo $[0,40)$ y decrece en el intervalo $(40,62]$.

$\textbf{b) ¿En qué año el IPR alcanza su valor máximo y cuál es dicho valor? Asimismo ¿en qué año el IPR registra su valor mínimo y cuál es dicho valor?}\ (3\ \text{puntos})$

Por el apartado anterior, la función pasa de crecer a decrecer en $t=40$, así que ahí hay un máximo relativo que, al ser el único punto crítico del intervalo, es también el máximo absoluto.

$IPR(40)=-40^3+54\cdot 40^2+480\cdot 40+6000$

$IPR(40)=-64000+86400+19200+6000=47600$

Como $t$ cuenta los años transcurridos desde 1932, el máximo se alcanza en el año $1932+40=1972$.

El mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado que no tiene mínimos relativos se encuentra en uno de los extremos del intervalo. Se valora la función en ambos:

$IPR(0)=6000$

$IPR(62)=-62^3+54\cdot 62^2+480\cdot 62+6000$

$IPR(62)=-238328+207576+29760+6000=5008$

Como $5008<6000$, el mínimo se alcanza en $t=62$, es decir, en el año $1932+62=1994$.

El IPR alcanza su valor máximo, $47600$, en el año 1972, y su valor mínimo, $5008$, en el año 1994.

$\textbf{c) Analice la concavidad y convexidad de la función } \boldsymbol{IPR(t)}\textbf{, e identifique, si existe, algún punto de inflexión.}\ (3\ \text{puntos})$

Para estudiar la curvatura se calcula la segunda derivada y se iguala a cero.

$IPR'(t)=-3t^2+108t+480 \Rightarrow IPR''(t)=-6t+108$

$IPR''(t)=0 \Rightarrow -6t+108=0 \Rightarrow t=18$

Se estudia el signo de la segunda derivada a ambos lados de $t=18$, dentro del intervalo $[0,62]$.

$\begin{cases} \text{Si } t=0,\quad IPR''(0)=108>0 \\ \text{Si } t=20,\quad IPR''(20)=-120+108=-12<0 \end{cases}$

$\begin{array}{c|cc} & [0,18) & (18,62] \\ \hline IPR''(t) & + & - \\ IPR(t) & \cup & \cap \end{array}$

La función es convexa $(\cup)$ en $[0,18)$ y cóncava $(\cap)$ en $(18,62]$. Como la segunda derivada cambia de signo en $t=18$, ahí hay un punto de inflexión.

$IPR(18)=-5832+54\cdot 324+480\cdot 18+6000=-5832+17496+8640+6000=26304$

Existe un punto de inflexión en $(18\,;26304)$, es decir, en el año 1950, donde el IPR pasa de crecer cada vez más deprisa a crecer cada vez más despacio.