Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&-1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}$, $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, y la ecuación matricial $AX-IX=B$, despeje la matriz $X$ y resuelva dicha ecuación matricial. (5 puntos)

b) Un producto llamado «TechGadget» puede ser adquirido a través de tres canales de venta: en tienda física (a un precio de 10 €), en tienda online (a un precio de 6 €), y en tienda de segunda mano (a un precio de 5 €). Este mes se ha registrado un total de 1.600 € en ventas de este producto. Además, se sabe que el número de unidades vendidas en tienda online es 5 veces el de unidades vendidas en tienda física, y que por las ventas en tienda de segunda mano se obtuvieron 800 € más que por las ventas en tienda física. Plantee un sistema de ecuaciones para obtener el número de unidades del producto que se han vendido este mes por cada canal de venta y resuelva dicho sistema utilizando técnicas matriciales. (5 puntos)

$\textbf{a) Dadas las matrices } A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&-1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix},\ I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\ \textbf{y la ecuación matricial } \boldsymbol{AX-IX=B}\textbf{, despeje la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ y resuelva dicha ecuación matricial.}\ (5\ \text{puntos})$

Se despeja $X$ sacando factor común por la izquierda, que es lo que permite la propiedad distributiva del producto de matrices.

$AX-IX=B \Rightarrow (A-I)X=B$

$(A-I)^{-1}(A-I)X=(A-I)^{-1}B \Rightarrow X=(A-I)^{-1}B$

Se calcula primero la matriz $A-I$.

$A-I= \begin{pmatrix}2&1\\-1&-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\-1&-2\end{pmatrix}$

Se calcula su inversa por el método de los adjuntos.

1) Se calcula el determinante:

$|A-I|= \begin{vmatrix}1&1\\-1&-2\end{vmatrix} =1\cdot(-2)-1\cdot(-1)=-2+1=-1\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A-I$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos y su traspuesta:

$\operatorname{Adj}(A-I)= \begin{pmatrix}-2&1\\-1&1\end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj}(A-I))^{t}= \begin{pmatrix}-2&-1\\1&1\end{pmatrix}$

3) Se aplica la fórmula:

$(A-I)^{-1}=\dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix}-2&-1\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1\\-1&-1\end{pmatrix}$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X= \begin{pmatrix}2&1\\-1&-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 0+1\cdot 1 & 2\cdot 1+1\cdot 2 \\ (-1)\cdot 0+(-1)\cdot 1 & (-1)\cdot 1+(-1)\cdot 2 \end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix}1&4\\-1&-3\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$(A-I)X= \begin{pmatrix}1&1\\-1&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&4\\-1&-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}=B$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}1&4\\-1&-3\end{pmatrix}$.

$\textbf{b) Un producto llamado «TechGadget» puede ser adquirido a través de tres canales de venta: en tienda física (a un precio de 10 €), en tienda online (a un precio de 6 €), y en tienda de segunda mano (a un precio de 5 €). Este mes se ha registrado un total de 1.600 € en ventas de este producto. Además, se sabe que el número de unidades vendidas en tienda online es 5 veces el de unidades vendidas en tienda física, y que por las ventas en tienda de segunda mano se obtuvieron 800 € más que por las ventas en tienda física. Plantee un sistema de ecuaciones para obtener el número de unidades del producto que se han vendido este mes por cada canal de venta y resuelva dicho sistema utilizando técnicas matriciales.}\ (5\ \text{puntos})$

Se llama $x$ al número de unidades vendidas en tienda física, $y$ al de unidades vendidas en tienda online y $z$ al de unidades vendidas en tienda de segunda mano.

El total de las ventas es de 1.600 €:

$10x+6y+5z=1600$

Las unidades vendidas online son cinco veces las vendidas en tienda física:

$y=5x \Rightarrow 5x-y=0$

Por las ventas de segunda mano se obtuvieron 800 € más que por las de tienda física:

$5z=10x+800 \Rightarrow -10x+5z=800$

Se reúnen las tres ecuaciones en un sistema y se escribe en forma matricial:

$\begin{cases} 10x+6y+5z=1600\\ 5x-y=0\\ -10x+5z=800 \end{cases} \Rightarrow \begin{pmatrix}10&6&5\\5&-1&0\\-10&0&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1600\\0\\800\end{pmatrix}$

Se llama $M$ a la matriz de los coeficientes y se calcula su determinante para comprobar que el sistema es compatible determinado.

$|M|= \begin{vmatrix}10&6&5\\5&-1&0\\-10&0&5\end{vmatrix} =10(-5-0)-6(25-0)+5(0-10)=-50-150-50=-250\neq 0$

El sistema es compatible determinado. Se resuelve por sustitución, que aquí es directo. De la segunda ecuación, $y=5x$, y de la tercera, $z=2x+160$. Se sustituyen ambas en la primera:

$10x+6\cdot 5x+5(2x+160)=1600$

$10x+30x+10x+800=1600 \Rightarrow 50x=800$

$x=16$

$y=5\cdot 16=80,\qquad z=2\cdot 16+160=192$

Se comprueba el total: $10\cdot 16+6\cdot 80+5\cdot 192=160+480+960=1600$ €, y las ventas de segunda mano, $960$ €, superan en $800$ € a las de tienda física, $160$ €.

Este mes se han vendido 16 unidades en tienda física, 80 unidades en tienda online y 192 unidades en tienda de segunda mano.