Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En una ciudad se presentan dos personas a la alcaldía: Rupérez y García.

a) Se ha realizado una encuesta sobre la intención de voto, para lo cual se ha tomado una muestra aleatoria simple de 200 votantes y 120 de ellos van a votar a Rupérez, mientras que el resto votarán a García. Calcule un intervalo de confianza a nivel 98 % para la proporción de votantes de la ciudad que votarán a Rupérez. (5 puntos)

b) El periódico de la ciudad afirma que Rupérez obtendrá un 75 % de los votos. A la vista de los resultados del apartado a), ¿es razonable tal afirmación? (2 puntos)

c) Una vez realizada la votación, Rupérez ha ganado con el 62 % de los votos. Si elegimos a 3 votantes con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que al menos 1 de ellos haya votado por Rupérez. (3 puntos)

$\textbf{a) Se ha realizado una encuesta sobre la intención de voto, para lo cual se ha tomado una muestra aleatoria simple de 200 votantes y 120 de ellos van a votar a Rupérez, mientras que el resto votarán a García. Calcule un intervalo de confianza a nivel 98 \% para la proporción de votantes de la ciudad que votarán a Rupérez.}\ (5\ \text{puntos})$

Se estima una proporción, así que el intervalo de confianza es

$IC=\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\;,\;\hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\right)$

Se calcula la proporción muestral:

$\hat{p}=\dfrac{120}{200}=0{,}6,\qquad \hat{q}=1-0{,}6=0{,}4,\qquad n=200$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 98 %, $1-\alpha=0{,}98$, luego $\alpha=0{,}02$ y $\alpha/2=0{,}01$:

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}99$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $0{,}99$ es $0{,}9901$, que corresponde a $z_{\alpha/2}=2{,}33$.



Se calcula el error o semiamplitud del intervalo:

$E=2{,}33\sqrt{\dfrac{0{,}6\cdot 0{,}4}{200}} =2{,}33\sqrt{0{,}0012} =2{,}33\cdot 0{,}034641$

$E\approx 0{,}0807$

$IC=(0{,}6-0{,}0807\;;\;0{,}6+0{,}0807)$

El intervalo de confianza al 98 % para la proporción de votantes de Rupérez es $(0{,}5193\;;\;0{,}6807)$.

$\textbf{b) El periódico de la ciudad afirma que Rupérez obtendrá un 75 \% de los votos. A la vista de los resultados del apartado a), ¿es razonable tal afirmación?}\ (2\ \text{puntos})$

Basta comprobar si la proporción que afirma el periódico pertenece al intervalo calculado.

$0{,}75\notin(0{,}5193\;;\;0{,}6807)$

El valor $0{,}75$ queda claramente por encima del extremo superior del intervalo.

Con los datos de la encuesta, la afirmación del periódico no es razonable: al 98 % de confianza no hay motivos para pensar que Rupérez vaya a obtener el 75 % de los votos.

$\textbf{c) Una vez realizada la votación, Rupérez ha ganado con el 62 \% de los votos. Si elegimos a 3 votantes con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que al menos 1 de ellos haya votado por Rupérez.}\ (3\ \text{puntos})$

Se llama $Y$ a la variable que cuenta cuántos de los tres votantes elegidos han votado a Rupérez. Al hacerse la elección con reemplazamiento, las tres extracciones son independientes y la probabilidad de éxito se mantiene en $0{,}62$:

$Y\sim B(3\,;0{,}62)$

Se pasa al suceso contrario, que es un único caso:

$P(Y\geq 1)=1-P(Y=0)$

$P(Y=0)=\binom{3}{0}\,0{,}62^{0}\,0{,}38^{3}=0{,}38^{3}=0{,}054872$

$P(Y\geq 1)=1-0{,}054872=0{,}945128$

La probabilidad de que al menos uno de los tres votantes elegidos haya votado por Rupérez es $0{,}945128\approx 0{,}9451$.