Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Juan va a hacer un examen de Geografía que tiene 4 preguntas. Juan piensa que, en cada pregunta, la probabilidad que tiene de responderla correctamente es 0,7 y que cada pregunta es independiente de las demás.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan conteste correctamente todas las preguntas? (3 puntos)

b) Juan aprobará el examen si contesta, al menos, 2 preguntas correctamente. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Juan de aprobar el examen? (4 puntos)

c) Si Juan ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya hecho contestando correctamente todas las preguntas? (3 puntos)

Se llama $X$ a la variable que cuenta el número de preguntas que Juan responde correctamente. Cada pregunta es independiente de las demás y en todas la probabilidad de acierto es la misma, $0{,}7$, así que $X$ sigue una distribución binomial:

$X\sim B(4\,;0{,}7)$

$P(X=k)=\binom{4}{k}\,0{,}7^{k}\,0{,}3^{\,4-k}$

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan conteste correctamente todas las preguntas?}\ (3\ \text{puntos})$

Contestar correctamente las cuatro preguntas es el suceso $X=4$.

$P(X=4)=\binom{4}{4}\,0{,}7^{4}\,0{,}3^{0} =1\cdot 0{,}7^{4}\cdot 1$

$P(X=4)=0{,}2401$

La probabilidad de que Juan conteste correctamente todas las preguntas es $0{,}2401$.

$\textbf{b) Juan aprobará el examen si contesta, al menos, 2 preguntas correctamente. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Juan de aprobar el examen?}\ (4\ \text{puntos})$

Aprobar es el suceso $X\geq 2$. Resulta más corto pasar al suceso contrario, que solo tiene dos casos.

$P(X\geq 2)=1-P(X<2)=1-\bigl(P(X=0)+P(X=1)\bigr)$

$P(X=0)=\binom{4}{0}\,0{,}7^{0}\,0{,}3^{4}=1\cdot 1\cdot 0{,}0081=0{,}0081$

$P(X=1)=\binom{4}{1}\,0{,}7^{1}\,0{,}3^{3}=4\cdot 0{,}7\cdot 0{,}027=0{,}0756$

$P(X\geq 2)=1-(0{,}0081+0{,}0756)=1-0{,}0837$

$P(X\geq 2)=0{,}9163$

La probabilidad de que Juan apruebe el examen es $0{,}9163$.

$\textbf{c) Si Juan ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya hecho contestando correctamente todas las preguntas?}\ (3\ \text{puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada: se sabe que ha aprobado y se pregunta por la probabilidad de que haya acertado las cuatro.

$P(X=4\,/\,X\geq 2)=\dfrac{P\bigl((X=4)\cap(X\geq 2)\bigr)}{P(X\geq 2)}$

Si acierta las cuatro preguntas, en particular acierta al menos dos, de modo que el suceso $X=4$ está contenido en el suceso $X\geq 2$ y su intersección es el propio $X=4$.

$P(X=4\,/\,X\geq 2)=\dfrac{P(X=4)}{P(X\geq 2)} =\dfrac{0{,}2401}{0{,}9163}$

$P(X=4\,/\,X\geq 2)=\dfrac{49}{187}\approx 0{,}2620$

Sabiendo que Juan ha aprobado, la probabilidad de que lo haya hecho contestando correctamente todas las preguntas es $\dfrac{49}{187}\approx 0{,}2620$.