Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

La obsolescencia tecnológica implica una disminución del valor de un producto con el tiempo. En cierto dispositivo, el valor $V(t)>0$ viene dado por $V(t)=200-\dfrac{100t}{10+2t}$ €, siendo $t$ los años transcurridos desde la compra del dispositivo.

a) Calcule el valor inicial del producto y su valor en un horizonte infinito de tiempo. (3 puntos)

b) Calcule $V'(t)$ y justifique que $V(t)$ es decreciente. Utilice esta conclusión y los resultados obtenidos en a) para argumentar que no será posible que el valor de $V(t)$ sea igual a 125 €. (4 puntos)

c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el dispositivo tenga un valor de 175 €? (3 puntos)

$\textbf{a) Calcule el valor inicial del producto y su valor en un horizonte infinito de tiempo.}\ (3\ \text{puntos})$

El valor inicial es el que tiene el dispositivo en el momento de la compra, es decir, para $t=0$.

$V(0)=200-\dfrac{100\cdot 0}{10+2\cdot 0}=200-\dfrac{0}{10}=200$

El valor en un horizonte infinito de tiempo se obtiene calculando el límite de la función cuando $t$ tiende a infinito. Es un cociente de polinomios del mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{t\to+\infty} V(t) = \lim_{t\to+\infty}\left(200-\dfrac{100t}{10+2t}\right) = 200-\lim_{t\to+\infty}\dfrac{100t}{2t+10} = 200-\dfrac{100}{2}$

$\lim_{t\to+\infty} V(t)=200-50=150$

El valor inicial del producto es de $200\ \text{€}$ y, con el paso del tiempo, su valor tiende a estabilizarse en $150\ \text{€}$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{V'(t)}\textbf{ y justifique que } \boldsymbol{V(t)}\textbf{ es decreciente. Utilice esta conclusión y los resultados obtenidos en a) para argumentar que no será posible que el valor de } \boldsymbol{V(t)}\textbf{ sea igual a 125 €.}\ (4\ \text{puntos})$

Se deriva la función aplicando la regla de derivación de un cociente al segundo sumando.

$V'(t)=-\dfrac{100\cdot(10+2t)-100t\cdot 2}{(10+2t)^2} =-\dfrac{1000+200t-200t}{(10+2t)^2}$

$V'(t)=-\dfrac{1000}{(10+2t)^2}$

El numerador es la constante negativa $-1000$ y el denominador es un cuadrado, siempre positivo para $t\geq 0$. Por tanto:

$V'(t)<0 \quad \text{para todo } t\geq 0$



La función $V(t)$ es decreciente en todo su dominio: el valor del dispositivo no deja de bajar.

Ahora se juntan las dos conclusiones. Por el apartado a), $V(0)=200$ y $\lim_{t\to+\infty}V(t)=150$. Al ser $V$ decreciente, sus valores parten de $200$ y se acercan a $150$ sin llegar nunca a alcanzarlo, de modo que:

$150<V(t)\leq 200 \quad \text{para todo } t\geq 0$

Como $125<150$, el valor $125\ \text{€}$ queda por debajo de la asíntota horizontal y no se alcanza nunca.

No es posible que el dispositivo llegue a valer $125\ \text{€}$: por muchos años que pasen, su valor nunca baja de $150\ \text{€}$.

$\textbf{c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el dispositivo tenga un valor de 175 €?}\ (3\ \text{puntos})$

Se plantea la ecuación $V(t)=175$ y se despeja $t$.

$200-\dfrac{100t}{10+2t}=175 \Rightarrow \dfrac{100t}{10+2t}=25$

$100t=25(10+2t) \Rightarrow 100t=250+50t \Rightarrow 50t=250$

$t=5$

Se comprueba el resultado: $V(5)=200-\dfrac{500}{20}=200-25=175$.

Tienen que pasar $5$ años desde la compra para que el dispositivo tenga un valor de $175\ \text{€}$.