Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Dada la función $f(x)=x^3-9x^2+40x+50$, $0\le x\le 8$.

a) Calcule el valor máximo y mínimo de $f(x)$ cuando $x\in[0,8]$ y la abscisa donde se obtienen dichos valores, especificando si se corresponde con extremos relativos y/o absolutos. (4 puntos)

b) ¿Tiene $f(x)$ algún punto de inflexión? Analice la concavidad y convexidad de $f(x)$. (3 puntos)

c) Calcule $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,dx$. (3 puntos)

$\textbf{a) Calcule el valor máximo y mínimo de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ cuando } \boldsymbol{x\in[0,8]}\textbf{ y la abscisa donde se obtienen dichos valores, especificando si se corresponde con extremos relativos y/o absolutos.}\ (4\ \text{puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$f(x)=x^3-9x^2+40x+50 \Rightarrow f'(x)=3x^2-18x+40$

$f'(x)=0 \Rightarrow 3x^2-18x+40=0 \Rightarrow x=\dfrac{18\pm\sqrt{(-18)^2-4\cdot 3\cdot 40}}{2\cdot 3} =\dfrac{18\pm\sqrt{324-480}}{6}$

$\Delta=324-480=-156<0$

El discriminante es negativo, así que la derivada no tiene raíces reales y no se anula nunca. Como es una parábola con las ramas hacia arriba que no corta al eje de abscisas, conserva el signo en todo $\mathbb{R}$; basta un punto para conocerlo:

$f'(0)=40>0$

Por tanto $f'(x)>0$ para todo $x\in[0,8]$ y la función es estrictamente creciente en todo el intervalo.



Al no haber puntos críticos, la función no tiene extremos relativos. Por ser continua y creciente en el intervalo cerrado $[0,8]$, alcanza sus valores extremos en los bordes del intervalo.

$f(0)=0^3-9\cdot 0^2+40\cdot 0+50=50$

$f(8)=8^3-9\cdot 8^2+40\cdot 8+50=512-576+320+50=306$

El valor mínimo es $50$ y se alcanza en $x=0$; el valor máximo es $306$ y se alcanza en $x=8$. Ambos son extremos absolutos en $[0,8]$, pero ninguno de los dos es extremo relativo, porque se alcanzan en los extremos del intervalo y no en puntos donde la derivada se anule.

$\textbf{b) ¿Tiene } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ algún punto de inflexión? Analice la concavidad y convexidad de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Para estudiar la curvatura se calcula la segunda derivada y se iguala a cero.

$f'(x)=3x^2-18x+40 \Rightarrow f''(x)=6x-18$

$f''(x)=0 \Rightarrow 6x-18=0 \Rightarrow x=3$

Se estudia el signo de la segunda derivada a ambos lados de $x=3$, dentro del intervalo $[0,8]$.

$\begin{cases} \text{Si } x=1,\quad f''(1)=6-18=-12<0 \\ \text{Si } x=5,\quad f''(5)=30-18=12>0 \end{cases}$

$\begin{array}{c|cc} & [0,3) & (3,8] \\ \hline f''(x) & - & + \\ f(x) & \cap & \cup \end{array}$

La función es cóncava $(\cap)$ en $[0,3)$ y convexa $(\cup)$ en $(3,8]$. Como la segunda derivada cambia de signo en $x=3$, ahí hay un punto de inflexión.

$f(3)=27-81+120+50=116$

La función tiene un punto de inflexión en $(3,116)$, donde pasa de cóncava a convexa.

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,dx}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Se calcula primero una primitiva integrando término a término.

$\int (x^3-9x^2+40x+50)\,dx = \dfrac{x^4}{4}-9\cdot\dfrac{x^3}{3}+40\cdot\dfrac{x^2}{2}+50x = \dfrac{x^4}{4}-3x^3+20x^2+50x$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_{1}^{3} f(x)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4}-3x^3+20x^2+50x\right]_{1}^{3}$

$= \left(\dfrac{81}{4}-81+180+150\right) - \left(\dfrac{1}{4}-3+20+50\right)$

$= \left(\dfrac{81}{4}+249\right) - \left(\dfrac{1}{4}+67\right) = \dfrac{80}{4}+182 = 20+182=202$

El valor de la integral definida es $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,dx=202$.