Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Determine el orden de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $AX+3B=C$ esté bien planteada, siendo $A=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}2&0&2\\-1&-1&1\end{pmatrix}$. Resuelva la ecuación matricial despejando previamente $X$. (5 puntos)

b) Un pueblo necesita recaudar fondos para combatir una plaga de termitas y han decidido financiar parte del tratamiento mediante la venta de participaciones para el sorteo de Lotería del 22 de diciembre. Ofrecen tres tipos de participaciones: de 10 euros, de 25 euros y de 5 euros. Se sabe que han vendido la mitad de participaciones de 10 euros que de 25 euros; en total, han recaudado 7.100 € y han vendido 430 participaciones. Utilizando técnicas matriciales, determine la cantidad de participaciones vendidas de cada tipo. Con una ganancia de 2,50 € por cada participación de 10 €, de 5 euros por cada participación de 25 € y de 1 € por cada participación de 5 €, ¿a cuánto asciende la ganancia total? (5 puntos)

$\textbf{a) Determine el orden de la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ para que la ecuación matricial } \boldsymbol{AX+3B=C}\textbf{ esté bien planteada, siendo } A=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}\ \textbf{y } C=\begin{pmatrix}2&0&2\\-1&-1&1\end{pmatrix}\textbf{. Resuelva la ecuación matricial despejando previamente } \boldsymbol{X}\textbf{.}\ (5\ \text{puntos})$

Para que la suma $AX+3B$ tenga sentido, $AX$ debe tener el mismo orden que $B$, que es $2\times 3$. Como $A$ es de orden $2\times 2$, la matriz $X$ ha de ser de orden $2\times 3$.

Se despeja $X$ aplicando las propiedades de las matrices.

$AX+3B=C \Rightarrow AX=C-3B$

$A^{-1}\cdot AX=A^{-1}(C-3B) \Rightarrow I\cdot X=A^{-1}(C-3B) \Rightarrow X=A^{-1}(C-3B)$

Para calcular $X$ se necesitan previamente $C-3B$ y $A^{-1}$.

$C-3B= \begin{pmatrix}2&0&2\\-1&-1&1\end{pmatrix} -3 \begin{pmatrix}-1&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&0&2\\-1&-1&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-3&3&0\\3&0&-3\end{pmatrix}$

$C-3B= \begin{pmatrix}5&-3&2\\-4&-1&4\end{pmatrix}$

Se calcula la matriz inversa de $A$ por el método de los adjuntos.

1) Se calcula $|A|$:

$|A|= \begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix} =1\cdot 1-1\cdot 2=-1\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos y su traspuesta:

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj}(A))^{t}= \begin{pmatrix}1&-1\\-2&1\end{pmatrix}$

3) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(\operatorname{Adj}(A))^{t} =\dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix}1&-1\\-2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X= \begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5&-3&2\\-4&-1&4\end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix} (-1)\cdot 5+1\cdot(-4) & (-1)\cdot(-3)+1\cdot(-1) & (-1)\cdot 2+1\cdot 4 \\ 2\cdot 5+(-1)\cdot(-4) & 2\cdot(-3)+(-1)\cdot(-1) & 2\cdot 2+(-1)\cdot 4 \end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix}-9&2&2\\14&-5&0\end{pmatrix}$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}-9&2&2\\14&-5&0\end{pmatrix}$, de orden $2\times 3$.

$\textbf{b) Un pueblo necesita recaudar fondos para combatir una plaga de termitas y han decidido financiar parte del tratamiento mediante la venta de participaciones para el sorteo de Lotería del 22 de diciembre. Ofrecen tres tipos de participaciones: de 10 euros, de 25 euros y de 5 euros. Se sabe que han vendido la mitad de participaciones de 10 euros que de 25 euros; en total, han recaudado 7.100 € y han vendido 430 participaciones. Utilizando técnicas matriciales, determine la cantidad de participaciones vendidas de cada tipo. Con una ganancia de 2,50 € por cada participación de 10 €, de 5 euros por cada participación de 25 € y de 1 € por cada participación de 5 €, ¿a cuánto asciende la ganancia total?}\ (5\ \text{puntos})$

Se llama $x$ al número de participaciones de 10 €, $y$ al de participaciones de 25 € y $z$ al de participaciones de 5 €.

Se han vendido la mitad de participaciones de 10 € que de 25 €:

$x=\dfrac{y}{2} \Rightarrow 2x-y=0$

Se han recaudado 7.100 €:

$10x+25y+5z=7100$

Se han vendido 430 participaciones:

$x+y+z=430$

Se reúnen las tres ecuaciones en un sistema y se escribe en forma matricial:

$\begin{cases} 2x-y=0\\ 10x+25y+5z=7100\\ x+y+z=430 \end{cases} \Rightarrow \begin{pmatrix}2&-1&0\\10&25&5\\1&1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\7100\\430\end{pmatrix}$

Se llama $M$ a la matriz de los coeficientes y se calcula su determinante.

$|M|= \begin{vmatrix}2&-1&0\\10&25&5\\1&1&1\end{vmatrix} =2(25-5)+1(10-5)+0=40+5=45\neq 0$

El sistema es compatible determinado. Se resuelve por reducción, que es más breve que invertir la matriz. De la primera ecuación, $y=2x$. Se sustituye en las otras dos:

$\begin{cases} 10x+50x+5z=7100\\ x+2x+z=430 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 12x+z=1420\\ 3x+z=430 \end{cases}$

Restando la segunda de la primera:

$9x=990 \Rightarrow x=110$

$z=430-3\cdot 110=100,\qquad y=2\cdot 110=220$

Se comprueba la recaudación: $10\cdot 110+25\cdot 220+5\cdot 100=1100+5500+500=7100$ €.

Se han vendido 110 participaciones de 10 €, 220 de 25 € y 100 de 5 €.

Se calcula por último la ganancia total:

$G=2{,}50\cdot 110+5\cdot 220+1\cdot 100=275+1100+100=1475$

La ganancia total asciende a $1475\ \text{€}$.