Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

El gobierno de una comunidad autónoma quiere incentivar el ahorro de agua en los hogares de dicha comunidad. Para ello, piensa subir las tasas de consumo de agua a aquellos hogares que más consumen por persona y bajar las tasas a los que menos consumen por persona. En concreto, planifica subir las tasas al 20 % de los hogares de la comunidad y bajarlas a otro 20 %.

El Departamento correspondiente ha comprobado que el consumo diario de agua por persona en los hogares de la comunidad se aproxima bien por una normal de media 135 litros. Además, los hogares a los que van a subir las tasas (correspondientes al 20 % de mayor consumo) tienen un consumo superior a los 148,44 litros por persona y día.

¿Cómo será el consumo de agua de los hogares a los que van a bajar las tasas? [2 puntos]

Llamamos $X$ al consumo diario de agua por persona, en litros, que sigue una distribución normal de media 135 litros y desviación típica desconocida. El enunciado da un dato sobre la cola de la derecha, y con él se obtiene $\sigma$; después, la simetría de la campana resuelve la pregunta.

$X\sim N(135,\sigma)$

El 20 por ciento de los hogares que más consumen está por encima de 148,44 litros, es decir:

$P(X>148{,}44)=0{,}20\ \Rightarrow\ P(X\leq148{,}44)=0{,}80$

Tipificamos para poder usar la tabla de la $N(0,1)$:

$P\left(Z\leq\dfrac{148{,}44-135}{\sigma}\right)=0{,}80$

En la tabla, el valor 0,80 no aparece exactamente; el más próximo es $P(Z\leq0{,}84)=0{,}7995$, así que tomamos $z=0{,}84$.

$\dfrac{148{,}44-135}{\sigma}=0{,}84\ \Rightarrow\ \sigma=\dfrac{13{,}44}{0{,}84}=16$

$X\sim N(135,16)$

A los hogares a los que se les bajan las tasas son el 20 por ciento que menos consume, es decir, los que están por debajo de un consumo $a$ tal que

$P(X<a)=0{,}20$

$P\left(Z<\dfrac{a-135}{16}\right)=0{,}20$

Como 0,20 es menor que 0,5, el valor tipificado es negativo y hay que usar la simetría de la campana respecto de la media:

$P(Z<-z)=1-P(Z<z)=0{,}20\ \Rightarrow\ P(Z<z)=0{,}80\ \Rightarrow\ z=0{,}84$

$\dfrac{a-135}{16}=-0{,}84\ \Rightarrow\ a=135-0{,}84\cdot16=135-13{,}44=121{,}56$



Los hogares a los que se les van a bajar las tasas son los que consumen menos de 121,56 litros por persona y día. Obsérvese que 121,56 y 148,44 están a la misma distancia de la media, 13,44 litros, que es lo que hace que las dos colas del 20 por ciento sean simétricas.