Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Sea $f(x) = -x^{3} + 4x^{2} + x - 4$. Calcula el área de la región delimitada por $f(x)$ y la recta tangente a $f(x)$ en $x = 2$. [2 puntos]

Para delimitar el recinto hacemos primero la recta tangente y después buscamos los puntos en los que corta a la curva; entre esos dos puntos se calcula el área con la integral de la diferencia.

$f(2)=-2^{3}+4\cdot2^{2}+2-4=-8+16+2-4=6$

$f'(x)=-3x^{2}+8x+1\ \Rightarrow\ f'(2)=-12+16+1=5$

La recta tangente pasa por $(2,6)$ con pendiente 5:

$t:y-6=5(x-2)\ \Rightarrow\ t:y=5x-4$

Igualamos las dos expresiones para hallar los puntos de corte:

$-x^{3}+4x^{2}+x-4=5x-4$

$-x^{3}+4x^{2}-4x=0\ \Rightarrow\ -x\left(x^{2}-4x+4\right)=0\ \Rightarrow\ -x(x-2)^{2}=0$

$\begin{cases} x=0 \\ x=2\ \text{(doble)} \end{cases}$

La raíz doble en $x=2$ era de esperar: ahí la recta es tangente a la curva y no la atraviesa. El recinto queda entonces limitado por $x=0$ y $x=2$.











En el interior del intervalo la diferencia no cambia de signo, y el factor $-x(x-2)^{2}$ es negativo para $0<x<2$, luego la recta va por encima de la curva:

$f(x)-t(x)=-x(x-2)^{2}<0\quad \text{si}\ 0<x<2$

Basta con integrar la diferencia en el orden correcto para que el área salga positiva.





$A=\displaystyle\int_{0}^{2}\left[(5x-4)-\left(-x^{3}+4x^{2}+x-4\right)\right]dx=\int_{0}^{2}\left(x^{3}-4x^{2}+4x\right)dx$

$A=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{4x^{3}}{3}+2x^{2}\right]_{0}^{2}$

$A=\left(\dfrac{16}{4}-\dfrac{32}{3}+8\right)-0=4-\dfrac{32}{3}+8=\dfrac{12-32+24}{3}=\dfrac{4}{3}$

El área de la región delimitada por la curva y su recta tangente en $x=2$ es $\frac{4}{3}\ \text{u}^{2}\approx1{,}33\ \text{u}^{2}$.