Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Aragón · 2026

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^{2}}{x - 2}$:

a) Calcula sus asíntotas. [0,8 puntos]

b) Estudia su monotonía. Justifica que $f(x) \geq 8$ si $x \in [3, 5]$. [1,2 puntos]

$\textbf{a) Calcula sus asíntotas. [0,8 puntos]}$

La función es un cociente de polinomios, así que su dominio es todo $\mathbb{R}$ salvo las raíces del denominador, y esos son los únicos candidatos a asíntota vertical.

$x-2=0\ \Rightarrow\ x=2\ \Rightarrow\ \text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{2\}$

$\displaystyle\lim_{x\to2^{-}}\dfrac{x^{2}}{x-2}=\dfrac{4}{0^{-}}=-\infty,\qquad \displaystyle\lim_{x\to2^{+}}\dfrac{x^{2}}{x-2}=\dfrac{4}{0^{+}}=+\infty$

$x=2\ \text{es asíntota vertical}$

Como el grado del numerador supera en una unidad al del denominador, no hay asíntota horizontal y sí oblicua. La obtenemos efectuando la división:

$\dfrac{x^{2}}{x-2}=x+2+\dfrac{4}{x-2}$

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-(x+2)\right]=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{4}{x-2}=0$

$y=x+2\ \text{es asíntota oblicua}$

La función tiene una asíntota vertical, $x=2$, y una asíntota oblicua, $y=x+2$, la misma por los dos lados.

$\textbf{b) Estudia su monotonía. Justifica que } \boldsymbol{f(x) \geq 8}\textbf{ si } \boldsymbol{x \in [3, 5]}\textbf{. [1,2 puntos]}$

Derivamos con la regla del cociente y estudiamos el signo de la derivada.

$f'(x)=\dfrac{2x(x-2)-x^{2}}{(x-2)^{2}}=\dfrac{2x^{2}-4x-x^{2}}{(x-2)^{2}}=\dfrac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}}=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^{2}}$

$f'(x)=0\ \Rightarrow\ x(x-4)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases} x=0 \\ x=4 \end{cases}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo de $f'$ es el del numerador. A los dos puntos críticos hay que añadir $x=2$, que no pertenece al dominio y también parte la recta real.



$f\ \text{es creciente en }(-\infty,0)\cup(4,+\infty)\ \text{y decreciente en }(0,2)\cup(2,4)$

Hay un máximo relativo en $x=0$, con $f(0)=0$, y un mínimo relativo en $x=4$, con

$f(4)=\dfrac{4^{2}}{4-2}=\dfrac{16}{2}=8$

Para justificar la cota en $[3,5]$ basta usar la monotonía recién obtenida: el intervalo está entero dentro del dominio y contiene al punto $x=4$, con la función decreciendo en $[3,4]$ y creciendo en $[4,5]$.

$\text{En }[3,4]:\ f\ \text{decrece}\ \Rightarrow\ f(x)\geq f(4)=8$

$\text{En }[4,5]:\ f\ \text{crece}\ \Rightarrow\ f(x)\geq f(4)=8$

El valor más pequeño que toma la función en $[3,5]$ es su mínimo absoluto en ese intervalo, $f(4)=8$; por eso $f(x)\geq8$ para todo $x\in[3,5]$. Los extremos lo corroboran: $f(3)=9$ y $f(5)=\frac{25}{3}\approx8{,}33$.