Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Existen funciones que aunque tienen primitivas, estas no pueden expresarse en términos de funciones elementales y no podemos calcularlas. Un ejemplo es $f(x) = \operatorname{sen}(x^{2})$. Aunque no la podemos calcular, vamos a llamar $F(x)$ a la primitiva de $f(x)$ que cumple $F(0) = 0$.

a) ¿Cuál es la derivada de $F(x)$? [0,8 puntos]

b) Utiliza la regla de L'Hôpital para calcular

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^{3}}.$

[1,2 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la derivada de } \boldsymbol{F(x)}\textbf{? [0,8 puntos]}$

Que $F$ sea una primitiva de $f$ significa exactamente que su derivada es $f$, sin necesidad de conocer la expresión de $F$.

$F'(x)=f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)$

La derivada de $F$ es $\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)$, y para escribirla no hace falta calcular la primitiva, que es justo lo que dice el enunciado que no se puede hacer.

$\textbf{b) Utiliza la regla de L'Hôpital para calcular }\boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^{3}}}\textbf{. [1,2 puntos]}$

Al sustituir, el numerador vale $F(0)=0$ por el dato del enunciado y el denominador $0^{3}=0$, así que hay una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ y podemos aplicar la regla de L'Hôpital. La derivada del numerador es la del apartado anterior.

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{F(x)}{x^{3}}=\dfrac{0}{0}$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{F(x)}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{3x^{2}}$

De nuevo numerador y denominador tienden a 0, de modo que volvemos a derivar:

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{3x^{2}}=\lim_{x\to0}\dfrac{2x\cos\left(x^{2}\right)}{6x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos\left(x^{2}\right)}{3}=\dfrac{\cos(0)}{3}=\dfrac{1}{3}$

Se llega al mismo resultado sin derivar una segunda vez, usando la equivalencia $\operatorname{sen}(u)\sim u$ cuando $u\to0$, que con $u=x^{2}$ da $\frac{x^{2}}{3x^{2}}=\frac{1}{3}$.

El límite pedido vale $\frac{1}{3}$.