Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Hemos estado reparando una silla de estructura metálica porque cojeaba ya que los extremos inferiores de sus cuatro patas no apoyaban simultáneamente en un suelo plano. Por ello, tenemos la silla tumbada sobre una mesa de trabajo de 120 centímetros de altura. La silla tiene cuatro patas de 45 centímetros de longitud cada una. Tras el trabajo de reparación, los extremos inferiores de las patas se encuentran situados en los puntos $A(-2, 3, 120)$, $B(20, 42, 120)$, $C(-1, 4, 165)$ y $D(20, 43, 165)$.

Cuando bajemos la silla de la mesa de trabajo y la dejemos en el suelo, ¿cojeará o apoyará sus cuatro patas sobre el suelo plano del taller? [2 puntos]

La silla apoyará sus cuatro patas sobre un suelo plano si, y solo si, los cuatro extremos inferiores están en un mismo plano; si no lo están, uno de ellos queda por encima o por debajo del plano que determinan los otros tres y la silla cojea. La longitud de las patas y la altura de la mesa no intervienen: la pregunta es únicamente si los cuatro puntos son coplanarios.











Tres puntos no alineados determinan siempre un plano, así que construimos el plano que pasa por $A$, $B$ y $C$ y comprobamos después si $D$ pertenece a él.

$\overrightarrow{AB}=(20,42,120)-(-2,3,120)=(22,39,0)$

$\overrightarrow{AC}=(-1,4,165)-(-2,3,120)=(1,1,45)$

$\overrightarrow{AD}=(20,43,165)-(-2,3,120)=(22,40,45)$





Un punto $(x,y,z)$ está en el plano que pasa por $A$ y tiene por directores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ cuando los tres vectores son linealmente dependientes:

$\pi:\begin{vmatrix} x+2 & y-3 & z-120 \\ 22 & 39 & 0 \\ 1 & 1 & 45 \end{vmatrix}=0$

$1755(x+2)-990(y-3)-17(z-120)=0$

$\pi:1755x-990y-17z+8520=0$

Sustituimos ahora las coordenadas del cuarto extremo, $D(20,43,165)$:

$1755\cdot20-990\cdot43-17\cdot165+8520=35100-42570-2805+8520=-1755\neq0$

El punto $D$ no pertenece al plano $\pi$. Se llega a lo mismo, y en un solo cálculo, con el producto mixto de los tres vectores:

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\begin{vmatrix} 22 & 39 & 0 \\ 1 & 1 & 45 \\ 22 & 40 & 45 \end{vmatrix}=-1755\neq0$

Al no anularse el producto mixto, los tres vectores son linealmente independientes y no hay ningún plano que contenga a los cuatro puntos.

Los cuatro extremos de las patas no son coplanarios, de modo que la silla seguirá cojeando cuando la dejemos en el suelo plano del taller: la reparación no ha servido.