Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{\operatorname{sen}(x)} - e^{x}}{1 - \cos(x)}.$ [2 puntos]

Al sustituir directamente, el numerador vale $e^{0}-e^{0}=0$ y el denominador $1-\cos(0)=0$, de modo que aparece una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado.

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{\operatorname{sen}(x)}-e^{x}}{1-\cos(x)}=\dfrac{0}{0}$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{\operatorname{sen}(x)}-e^{x}}{1-\cos(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)}-e^{x}}{\operatorname{sen}(x)}$

Volvemos a sustituir y comprobamos que la indeterminación persiste:

$\dfrac{\cos(0)e^{\operatorname{sen}(0)}-e^{0}}{\operatorname{sen}(0)}=\dfrac{1\cdot1-1}{0}=\dfrac{0}{0}$

Como se mantiene el tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la regla una segunda vez. El numerador se deriva con la regla del producto y la regla de la cadena:

$\dfrac{d}{dx}\left[\cos(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)}-e^{x}\right]=-\operatorname{sen}(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)}+\cos^{2}(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)}-e^{x}$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\cos(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)}-e^{x}}{\operatorname{sen}(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{-\operatorname{sen}(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)}+\cos^{2}(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)}-e^{x}}{\cos(x)}$

Ahora el denominador ya no se anula y basta sustituir:

$\dfrac{-0\cdot1+1\cdot1-1}{1}=\dfrac{0}{1}=0$

El límite pedido vale 0.