Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

En un archivo de la universidad se están digitalizando los expedientes allí almacenados. La universidad dispone de 70 archiveros que pueden realizar el trabajo y de un número limitado de equipos informáticos. Inicialmente se crea un equipo de trabajo con 50 archiveros. Se ha observado que cada uno de los integrantes de ese equipo digitaliza 80 expedientes mensualmente y que por cada archivero más que se añada al equipo, se reduce en uno los expedientes que digitaliza cada archivero al mes. Determina el número de archiveros que deben formar el equipo para que el número de expedientes digitalizados al mes sea máximo. [2 puntos]

Se llama $x$ al número de archiveros que se añaden al equipo inicial de 50. Cada uno de ellos hace bajar en una unidad los expedientes que digitaliza cada miembro del equipo, así que el equipo tiene $50+x$ archiveros y cada uno digitaliza $80-x$ expedientes al mes. El número total de expedientes digitalizados es el producto de las dos cantidades.

$N(x)=(50+x)(80-x)=4000+30x-x^{2}$

El dominio no es todo $\mathbb{R}$: no se pueden quitar archiveros del equipo inicial y la universidad solo dispone de 70, luego

$0\leq x\leq20$

Buscamos el máximo absoluto de $N$ en ese intervalo anulando su derivada.

$N'(x)=30-2x$

$N'(x)=0\ \Rightarrow\ 30-2x=0\ \Rightarrow\ x=15$

El punto crítico pertenece al intervalo $[0,20]$. Para comprobar que es un máximo recurrimos a la segunda derivada:

$N''(x)=-2<0\qquad \forall x$

La segunda derivada es negativa en todo el dominio, de modo que en $x=15$ hay un máximo relativo y, por ser el único extremo de una función continua en un intervalo cerrado, es el máximo absoluto. Los valores en los extremos lo confirman:

$N(0)=50\cdot80=4000,\qquad N(15)=65\cdot65=4225,\qquad N(20)=70\cdot60=4200$

El equipo debe estar formado por $50+15=65$ archiveros, y entonces se digitalizan 4225 expedientes al mes, que es el máximo posible.