Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Para una prueba de Bachillerato se ha preparado un cuestionario tipo test de 4 preguntas con 5 respuestas posibles a cada pregunta. Cada pregunta correctamente respondida suma 2,5 puntos. Por cada respuesta incorrecta se restan 0,625 puntos. Si no se contesta a la pregunta, se puntúa con 0.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar sobresaliente (nota mayor o igual a 9) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente? [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de suspender (nota menor que 5) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente? [1 punto]

Antes de calcular ninguna probabilidad conviene traducir la nota a número de aciertos. Si se contestan las cuatro preguntas y se acierta en $k$ de ellas, se falla en las $4-k$ restantes, de modo que

$\text{nota}(k)=2{,}5k-0{,}625(4-k)=3{,}125k-2{,}5$

Aciertos	0	1	2	3	4 Nota	$-2{,}5$	$0{,}625$	$3{,}75$	$6{,}875$	$10$

Como cada pregunta tiene cinco respuestas posibles y solo una correcta, contestar al azar acierta con probabilidad $\frac{1}{5}$, y las cuatro preguntas son independientes. Llamando $X$ al número de aciertos:

$X\sim B\left(4,\dfrac{1}{5}\right),\qquad P(X=k)=\binom{4}{k}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{k}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{4-k}$

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar sobresaliente (nota mayor o igual a 9) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente? [1 punto]}$

Buscamos primero cuántos aciertos hacen falta para llegar al 9.

$3{,}125k-2{,}5\geq9\ \Rightarrow\ k\geq\dfrac{11{,}5}{3{,}125}=3{,}68$

Como $k$ es un número entero de preguntas, la única posibilidad es acertarlas las cuatro.

$P(X=4)=\binom{4}{4}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{4}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{0}=\dfrac{1}{625}=0{,}0016$

La probabilidad de sacar sobresaliente contestando al azar es $\frac{1}{625}=0{,}0016$, es decir, algo más de una posibilidad entre seiscientas.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de suspender (nota menor que 5) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente? [1 punto]}$

Procedemos igual: vemos qué número de aciertos deja la nota por debajo de 5.

$3{,}125k-2{,}5<5\ \Rightarrow\ k<\dfrac{7{,}5}{3{,}125}=2{,}4$

Se suspende, por tanto, con 0, 1 o 2 aciertos, es decir, fallando más de una pregunta. Resulta más corto calcular la probabilidad del suceso contrario:

$P(X\leq2)=1-P(X=3)-P(X=4)$

$P(X=3)=\binom{4}{3}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{3}\left(\dfrac{4}{5}\right)=4\cdot\dfrac{1}{125}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{625}=0{,}0256$

$P(X\leq2)=1-\dfrac{16}{625}-\dfrac{1}{625}=1-\dfrac{17}{625}=\dfrac{608}{625}=0{,}9728$

La probabilidad de suspender contestando las cuatro preguntas al azar es $\frac{608}{625}=0{,}9728$.