Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Sean los planos $\pi \equiv x - 2y + 4z + 1 = 0$ y $\pi_{d} \equiv 2x - 3y + 6z = d$, con $d \in \mathbb{R}$.

a) ¿Hay algún valor de $d \in \mathbb{R}$ para el cual los planos $\pi$ y $\pi_{d}$ no se corten? [1 punto]

b) Calcula, para $d = -2$, los puntos de corte entre los planos $\pi$ y $\pi_{d}$. [1 punto]

$\textbf{a) ¿Hay algún valor de } \boldsymbol{d \in \mathbb{R}}\textbf{ para el cual los planos } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_{d}}\textbf{ no se corten? [1 punto]}$

Dos planos dejan de cortarse únicamente cuando son paralelos (o coincidentes), y eso ocurre solo si sus vectores normales son proporcionales. Comparamos entonces las dos normales.











$\vec n_{\pi}=(1,-2,4),\qquad \vec n_{\pi_{d}}=(2,-3,6)$

$\dfrac{1}{2}\neq\dfrac{-2}{-3}$

Los dos vectores no son proporcionales, y esto no depende de $d$: el término independiente no interviene en la dirección del plano.





Dicho con el sistema que forman las dos ecuaciones, la matriz de coeficientes tiene rango 2 cualquiera que sea $d$, porque el menor

$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}=-3+4=1\neq0$

no se anula. Como la matriz ampliada tiene solo dos filas, su rango también es 2, así que el sistema es siempre compatible indeterminado con un grado de libertad: los planos se cortan en una recta.

No existe ningún valor de $d$ para el que los planos no se corten: para todo $d\in\mathbb{R}$ se cortan en una recta.

$\textbf{b) Calcula, para } \boldsymbol{d = -2}\textbf{, los puntos de corte entre los planos } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_{d}}\textbf{. [1 punto]}$

Los puntos comunes a los dos planos son las soluciones del sistema formado por sus ecuaciones. Por el apartado anterior sabemos que es compatible indeterminado, así que damos a una incógnita el papel de parámetro.

$\begin{cases} x-2y+4z=-1 \\ 2x-3y+6z=-2 \end{cases}$

Despejamos $x$ en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

$x=-1+2y-4z$

$2(-1+2y-4z)-3y+6z=-2$

$-2+4y-8z-3y+6z=-2\ \Rightarrow\ y-2z=0\ \Rightarrow\ y=2z$

Llevamos este resultado a la expresión de $x$:

$x=-1+2(2z)-4z=-1+4z-4z=-1$

Tomando $z=\lambda$ como parámetro, los puntos de corte son:

$r:\begin{cases} x=-1 \\ y=2\lambda \\ z=\lambda \end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Se trata de la recta que pasa por el punto $(-1,0,0)$ con vector director $\vec v_{r}=(0,2,1)$, que es precisamente el producto vectorial de las dos normales:

$\vec n_{\pi}\times\vec n_{\pi_{d}}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & 4 \\ 2 & -3 & 6 \end{vmatrix}=(-12+12)\vec i-(6-8)\vec j+(-3+4)\vec k=(0,2,1)$

Los dos planos se cortan en la recta $r$ de ecuaciones paramétricas $x=-1$, $y=2\lambda$, $z=\lambda$.