Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Sea $f(x)$ una función continua definida en $[0, +\infty)$ tal que $f'(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$, $\forall x > 0$, y $f(1) = 2e - 2$.

a) Calcula $f(x)$ y $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x)$. [1 punto]

b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$. Justifica que $f(x) \geq 0$, $\forall x \geq 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcula } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

Conocemos la derivada de $f$, así que $f$ es una primitiva suya; la calculamos con el cambio de variable $t=\sqrt{x}$ y después ajustamos la constante con el dato $f(1)=2e-2$.

$f(x)=\displaystyle\int \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx$

$\begin{cases} t=\sqrt{x} \\ dt=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\ \Rightarrow\ \dfrac{dx}{\sqrt{x}}=2\,dt \end{cases}$

$f(x)=\displaystyle\int e^{t}\cdot 2\,dt=2e^{t}+C=2e^{\sqrt{x}}+C$

Imponemos la condición del enunciado:

$f(1)=2e^{\sqrt{1}}+C=2e+C=2e-2\ \Rightarrow\ C=-2$

$f(x)=2e^{\sqrt{x}}-2$

Como la función $2e^{\sqrt{x}}-2$ es continua en $x=0$, el límite se obtiene sustituyendo:

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\left(2e^{\sqrt{x}}-2\right)=2e^{0}-2=2-2=0$

La función es $f(x)=2e^{\sqrt{x}}-2$ y su límite en el origen por la derecha vale 0.

$\textbf{b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{f}\textbf{. Justifica que } \boldsymbol{f(x) \geq 0}\textbf{, } \boldsymbol{\forall x \geq 0}\textbf{. [1 punto]}$

La monotonía la da el signo de la derivada, y aquí la derivada nos la da el propio enunciado, de modo que no hay que estudiar ningún punto crítico: basta razonar sobre el signo de cada factor.

$f'(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}>0\qquad \forall x>0$

En efecto, el numerador es una exponencial, siempre positiva, y el denominador es la raíz cuadrada de un número positivo, también positiva. La derivada no se anula en ningún punto.

$f\ \text{es creciente en }(0,+\infty)\ \text{y no decrece en ningún intervalo}$

Como además $f$ es continua en $[0,+\infty)$, el crecimiento se extiende al intervalo cerrado: $f$ es creciente en todo $[0,+\infty)$.

Por el apartado a), el valor de la función en el extremo del intervalo es

$f(0)=2e^{0}-2=0$

Al ser creciente en $[0,+\infty)$, cualquier $x\geq0$ cumple $f(x)\geq f(0)$, es decir:

$f(x)\geq f(0)=0\qquad \forall x\geq0$

La función crece en todo su dominio y su valor más pequeño es el del origen, que vale 0; por eso $f(x)\geq0$ para todo $x\geq0$.