Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

El beneficio mensual de dos empresas locales puede aproximarse por dos variables aleatorias con distribución normal. La media y la desviación típica, en euros, de ambas distribuciones es la siguiente:

Empresa	Media	Desviación típica PI S.A.	11125	527 RHO M.A.	10950	430

Hay dos inversores que quieren invertir parte de sus ahorros en una de estas dos empresas.

a) El primer inversor, con perfil agresivo, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener un beneficio mensual superior a 10000 euros sea mayor. ¿En qué empresa debe invertir? [1,25 puntos]

b) El segundo inversor, con un perfil más conservador, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener pérdidas a lo largo de un mes sea menor. ¿En qué empresa debe invertir? [1,25 puntos]

Llamamos $X$ al beneficio mensual, en euros, de PI S.A. e $Y$ al de RHO M.A. Los dos siguen distribuciones normales cuyos parámetros da la tabla del enunciado.

$X\sim N(11125,\,527),\qquad Y\sim N(10950,\,430)$

$\textbf{a) El primer inversor, con perfil agresivo, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener un beneficio mensual superior a 10000 euros sea mayor. ¿En qué empresa debe invertir? [1,25 puntos]}$

Hay que comparar dos probabilidades de distribuciones distintas, así que tipificamos las dos para poder leerlas en la misma tabla, la de la $N(0,1)$.

$P(X>10000)=P\left(Z>\dfrac{10000-11125}{527}\right)=P(Z>-2{,}13)$

$P(Y>10000)=P\left(Z>\dfrac{10000-10950}{430}\right)=P(Z>-2{,}21)$

Los dos valores tipificados son negativos y la tabla solo recoge los positivos, de modo que usamos la simetría de la campana:

$P(Z>-z)=P(Z<z)$

$P(X>10000)=P(Z<2{,}13)=0{,}9834$



$P(Y>10000)=P(Z<2{,}21)=0{,}9864$



$0{,}9864>0{,}9834\ \Rightarrow\ P(Y>10000)>P(X>10000)$

El primer inversor debe invertir en RHO M.A. Aunque su beneficio medio es menor, los 10000 euros le quedan más lejos de la media en desviaciones típicas —2,21 frente a 2,13—, y por eso le sobra más campana a la derecha.

$\textbf{b) El segundo inversor, con un perfil más conservador, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener pérdidas a lo largo de un mes sea menor. ¿En qué empresa debe invertir? [1,25 puntos]}$

Tener pérdidas significa que el beneficio del mes es negativo, así que hay que comparar $P(X<0)$ con $P(Y<0)$. Tipificamos igual que antes.

$P(X<0)=P\left(Z<\dfrac{0-11125}{527}\right)=P(Z<-21{,}11)$

$P(Y<0)=P\left(Z<\dfrac{0-10950}{430}\right)=P(Z<-25{,}47)$

Ninguno de los dos valores aparece en la tabla, que llega solo hasta 3,6: las dos probabilidades son tan pequeñas que la tabla las da por nulas. Eso no impide responder, porque para compararlas basta razonar sobre la propia campana: la función de distribución es creciente, de modo que cuanto más a la izquierda esté el valor tipificado, menor es la probabilidad acumulada.

$-25{,}47<-21{,}11\ \Rightarrow\ P(Z<-25{,}47)<P(Z<-21{,}11)\ \Rightarrow\ P(Y<0)<P(X<0)$

El segundo inversor también debe invertir en RHO M.A.: el cero está a 25,47 desviaciones típicas por debajo de su beneficio medio, frente a las 21,11 de PI S.A., de modo que su probabilidad de pérdidas es todavía más pequeña. Las dos son, en cualquier caso, prácticamente nulas.