Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Sea $g(x) = x - \operatorname{sen}(x)$ con $x \in \mathbb{R}$.

a) Estudia intervalos de crecimiento y decrecimiento de $g(x)$. [0,5 puntos]

b) Obtén los máximos y mínimos absolutos de $g(x)$ en el intervalo $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$. [0,5 puntos]

c) Calcula el área delimitada por la gráfica de la función $h(x) = x\,g(x)$, el eje $X$ y las rectas $x = \pi/2$ y $x = \pi$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Estudia intervalos de crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{g(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La monotonía la da el signo de la derivada, y aquí ese signo se decide sin cálculos: basta recordar el recorrido del coseno.

$g'(x)=1-\cos(x)$

$-1\leq\cos(x)\leq1\ \Rightarrow\ 1-\cos(x)\geq0\qquad \forall x\in\mathbb{R}$

La derivada nunca es negativa, y solo se anula cuando $\cos(x)=1$, es decir, en los puntos aislados $x=2k\pi$ con $k\in\mathbb{Z}$.

$g\ \text{es creciente en todo }\mathbb{R}\ \text{y no decrece en ningún intervalo}$

$\textbf{b) Obtén los máximos y mínimos absolutos de } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Al ser $g$ continua y creciente en todo $\mathbb{R}$, también lo es en el intervalo cerrado que se pide, de modo que los extremos absolutos se alcanzan necesariamente en los extremos del intervalo: el menor valor a la izquierda y el mayor a la derecha.

$g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}-\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}-1\approx0{,}5708$

$g(\pi)=\pi-\operatorname{sen}(\pi)=\pi-0=\pi\approx3{,}1416$

El mínimo absoluto se alcanza en $x=\frac{\pi}{2}$ y vale $\frac{\pi}{2}-1$; el máximo absoluto se alcanza en $x=\pi$ y vale $\pi$.

$\textbf{c) Calcula el área delimitada por la gráfica de la función } \boldsymbol{h(x) = x\,g(x)}\textbf{, el eje } \boldsymbol{X}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x = \pi/2}\textbf{ y } \boldsymbol{x = \pi}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Antes de integrar comprobamos el signo de la función en el intervalo, que es lo que decide si hay que partir la integral. Los dos factores son positivos: $x$ porque el intervalo está a la derecha del origen, y $g(x)$ por el apartado b), que da como valor más pequeño $\frac{\pi}{2}-1>0$.

$h(x)=x\left[x-\operatorname{sen}(x)\right]=x^{2}-x\operatorname{sen}(x)>0\qquad \forall x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$

$A=\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi}\left[x^{2}-x\operatorname{sen}(x)\right]dx$

El primer sumando es inmediato y el segundo se resuelve por partes:

$\begin{cases} u=x & du=dx \\ dv=\operatorname{sen}(x)\,dx & v=-\cos(x) \end{cases}$

$\displaystyle\int x\operatorname{sen}(x)\,dx=-x\cos(x)+\int \cos(x)\,dx=-x\cos(x)+\operatorname{sen}(x)$

$\displaystyle\int \left[x^{2}-x\operatorname{sen}(x)\right]dx=\dfrac{x^{3}}{3}+x\cos(x)-\operatorname{sen}(x)$

Aplicamos la regla de Barrow:

$A=\left[\dfrac{x^{3}}{3}+x\cos(x)-\operatorname{sen}(x)\right]_{\pi/2}^{\pi}$

$A=\left(\dfrac{\pi^{3}}{3}-\pi-0\right)-\left(\dfrac{\pi^{3}}{24}+0-1\right)=\dfrac{\pi^{3}}{3}-\dfrac{\pi^{3}}{24}-\pi+1$

$A=\dfrac{8\pi^{3}-\pi^{3}}{24}-\pi+1=\dfrac{7\pi^{3}}{24}-\pi+1\approx6{,}90$



El área pedida es $\frac{7\pi^{3}}{24}-\pi+1\approx6{,}90\ \text{u}^{2}$.