Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

a) Dada la función $f(x) = 2 + \operatorname{sen}(x)\cos(x)$ con $x \in \mathbb{R}$, calcula $f'(x)$. [0,5 puntos]

b) Obtén $\displaystyle\int \frac{\cos^{2}(x) - \operatorname{sen}^{2}(x)}{2 + \operatorname{sen}(x)\cos(x)}\,\mathrm{d}x.$ [1 punto]

c) Calcula (si existe), en función del valor de $k \in \mathbb{Z}$, el valor del límite

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{(x^{4} + x^{3} - x^{2} - x)}{(x^{2} - 1)^{2k}}.$

[1 punto]

$\textbf{a) Dada la función } \boldsymbol{f(x) = 2 + \operatorname{sen}(x)\cos(x)}\textbf{ con } \boldsymbol{x \in \mathbb{R}}\textbf{, calcula } \boldsymbol{f'(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La constante desaparece al derivar y el segundo sumando es un producto, así que aplicamos la regla del producto.

$f'(x)=0+\cos(x)\cos(x)+\operatorname{sen}(x)\left(-\operatorname{sen}(x)\right)=\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)$

La derivada es $f'(x)=\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)$, que también puede escribirse como $\cos(2x)$.

$\textbf{b) Obtén }\boldsymbol{\displaystyle\int \frac{\cos^{2}(x) - \operatorname{sen}^{2}(x)}{2 + \operatorname{sen}(x)\cos(x)}\,\mathrm{d}x}\textbf{. [1 punto]}$

El apartado anterior no está puesto por casualidad: el numerador del integrando es exactamente la derivada del denominador, de modo que la integral es de tipo logarítmico.

$\displaystyle\int \dfrac{\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)}{2+\operatorname{sen}(x)\cos(x)}\,dx=\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\left|f(x)\right|+C$

Además el denominador nunca se anula ni cambia de signo: como $\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)$ toma valores entre $-\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{2}$, se tiene $f(x)\in\left[\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right]$ y el valor absoluto se puede quitar.

$\displaystyle\int \dfrac{\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)}{2+\operatorname{sen}(x)\cos(x)}\,dx=\ln\left(2+\operatorname{sen}(x)\cos(x)\right)+C$

$\textbf{c) Calcula (si existe), en función del valor de } \boldsymbol{k \in \mathbb{Z}}\textbf{, el valor del límite }\boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{(x^{4} + x^{3} - x^{2} - x)}{(x^{2} - 1)^{2k}}}\textbf{. [1 punto]}$

Al sustituir $x=1$ el numerador vale $1+1-1-1=0$ y el denominador $0^{2k}$, así que conviene factorizar los dos y simplificar antes de decidir nada. Empezamos por el numerador, sacando factor común por grupos:

$x^{4}+x^{3}-x^{2}-x=x\left(x^{3}+x^{2}-x-1\right)=x\left[x^{2}(x+1)-(x+1)\right]=x(x+1)\left(x^{2}-1\right)$

$x^{4}+x^{3}-x^{2}-x=x(x+1)^{2}(x-1)$

El denominador es una potencia de la misma diferencia de cuadrados:

$\left(x^{2}-1\right)^{2k}=(x-1)^{2k}(x+1)^{2k}$

Dividiendo, el límite queda

$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x(x+1)^{2}(x-1)}{(x-1)^{2k}(x+1)^{2k}}=\lim_{x\to1}x\,(x+1)^{2-2k}(x-1)^{1-2k}$

Los dos primeros factores tienden a 1 y a $2^{2-2k}$, que son números finitos y no nulos; todo depende, por tanto, del exponente $1-2k$, que nunca es cero por ser impar.

$\text{Si }k\leq0:\quad 1-2k\geq1>0\ \Rightarrow\ (x-1)^{1-2k}\to0$

$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^{4}+x^{3}-x^{2}-x}{\left(x^{2}-1\right)^{2k}}=1\cdot2^{2-2k}\cdot0=0$

$\text{Si }k\geq1:\quad 1-2k\leq-1<0\ \Rightarrow\ (x-1)^{1-2k}=\dfrac{1}{(x-1)^{2k-1}}$

Como el exponente $2k-1$ es impar, $(x-1)^{2k-1}$ es positivo por la derecha de 1 y negativo por la izquierda:

$\displaystyle\lim_{x\to1^{+}}=+\infty,\qquad \displaystyle\lim_{x\to1^{-}}=-\infty$

Para $k\leq0$ el límite existe y vale 0; para $k\geq1$ los límites laterales son infinitos de distinto signo, de modo que el límite no existe.