Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{cases} x + 2y - z = -1, \\ 8x + my - 6z = -8, \\ -x - 2y + m^{2}z = m, \end{cases}$

con $m \in \mathbb{R}$ un parámetro.

a) Estudia, en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$, el número de soluciones del sistema anterior. [1,5 puntos]

b) Resuelve, si es posible, el sistema para $m = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudia, en función del parámetro } \boldsymbol{m \in \mathbb{R}}\textbf{, el número de soluciones del sistema anterior. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, cuyas raíces marcan los casos que hay que estudiar aparte.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 8 & m & -6 \\ -1 & -2 & m^{2} \end{pmatrix},\qquad A'=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 8 & m & -6 & -8 \\ -1 & -2 & m^{2} & m \end{pmatrix}$

$|A|=1\left(m\cdot m^{2}-12\right)-2\left(8m^{2}-6\right)-\left(-16+m\right)=m^{3}-16m^{2}-m+16$

$|A|=m^{2}(m-16)-(m-16)=(m-16)\left(m^{2}-1\right)=(m-16)(m-1)(m+1)$

$|A|=0\ \Rightarrow\ \begin{cases} m=16 \\ m=1 \\ m=-1 \end{cases}$

Si $m\neq16$, $m\neq1$ y $m\neq-1$, entonces $|A|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A')=3=\text{n.º de incógnitas}\ \Rightarrow\ \text{sistema compatible determinado}$

es decir, el sistema tiene solución única. Estudiamos ahora los tres valores que anulan el determinante.

Si $m=16$, la matriz ampliada es

$A'=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 8 & 16 & -6 & -8 \\ -1 & -2 & 256 & 16 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 8 & -6 \end{vmatrix}=-6+8=2\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

porque el determinante de orden 3 ya sabemos que se anula. En la ampliada, en cambio, orlando ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 8 & -6 & -8 \\ -1 & 256 & 16 \end{vmatrix}=(-96+2048)+(128-8)-(2048-6)=30\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A')=3$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq3=\operatorname{ran}(A')\ \Rightarrow\ \text{sistema incompatible}$

Si $m=1$, el sistema queda

$\begin{cases} x+2y-z=-1 \\ 8x+y-6z=-8 \\ -x-2y+z=1 \end{cases}$

y se ve a simple vista que la tercera ecuación es la primera multiplicada por $-1$, de modo que sobra. Con las dos primeras:

$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix}=1-16=-15\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A')=2$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A')=2<3=\text{n.º de incógnitas}\ \Rightarrow\ \text{sistema compatible indeterminado}$

con infinitas soluciones dependientes de un parámetro.

Si $m=-1$, el sistema queda

$\begin{cases} x+2y-z=-1 \\ 8x-y-6z=-8 \\ -x-2y+z=-1 \end{cases}$

Ahora la primera y la tercera ecuación tienen los coeficientes opuestos pero el mismo término independiente. Sumándolas:

$0=-2$

lo que es imposible, así que el sistema es incompatible.

Resumiendo: si $m\neq16,1,-1$ el sistema es compatible determinado y tiene solución única; si $m=1$ es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones; y si $m=16$ o $m=-1$ es incompatible y no tiene ninguna.

$\textbf{b) Resuelve, si es posible, el sistema para } \boldsymbol{m = 1}\textbf{. [1 punto]}$

Por el apartado anterior sabemos que para $m=1$ el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Prescindimos de la tercera ecuación, que es proporcional a la primera, y pasamos la incógnita $z$ al segundo miembro como parámetro. Para que las soluciones queden sin denominadores tomamos $z=15\lambda$.

$\begin{cases} x+2y=-1+15\lambda \\ 8x+y=-8+90\lambda \end{cases}$

Multiplicamos la segunda ecuación por 2 y le restamos la primera:

$16x+2y=-16+180\lambda$

$15x=-15+165\lambda\ \Rightarrow\ x=-1+11\lambda$

Sustituimos en la segunda ecuación para obtener $y$:

$y=-8+90\lambda-8(-1+11\lambda)=-8+90\lambda+8-88\lambda=2\lambda$

$\begin{cases} x=-1+11\lambda \\ y=2\lambda \\ z=15\lambda \end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos en la primera ecuación: $(-1+11\lambda)+2(2\lambda)-15\lambda=-1$, y en la segunda: $8(-1+11\lambda)+2\lambda-90\lambda=-8$.

Para $m=1$ el sistema tiene infinitas soluciones, las de la recta anterior; por ejemplo, con $\lambda=0$ se obtiene la solución $(-1,0,0)$.