Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

a) Calcula

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - \operatorname{sen}(x^{2})}{1 - \cos(x)}.$

[1,25 puntos]

b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función

$f(x) = \cos^{2}(x)\operatorname{sen}(x), \qquad x \in [0, \pi]$

y el eje de abscisas. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcula }\boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - \operatorname{sen}(x^{2})}{1 - \cos(x)}}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Al sustituir, el numerador vale $0-\operatorname{sen}(0)=0$ y el denominador $1-\cos(0)=0$, de modo que hay una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ y aplicamos la regla de L'Hôpital.

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x^{2}-\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{1-\cos(x)}=\dfrac{0}{0}$

Derivamos numerador y denominador por separado, el numerador con la regla de la cadena:

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x^{2}-\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{1-\cos(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{2x-2x\cos\left(x^{2}\right)}{\operatorname{sen}(x)}$

Sacamos factor común $2x$ en el numerador, que es lo que deja el límite resuelto sin volver a derivar:

$=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{2x\left[1-\cos\left(x^{2}\right)\right]}{\operatorname{sen}(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{2x}{\operatorname{sen}(x)}\cdot\lim_{x\to0}\left[1-\cos\left(x^{2}\right)\right]$

El primer factor es un límite conocido y el segundo se obtiene por sustitución directa:

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{2x}{\operatorname{sen}(x)}=2,\qquad \displaystyle\lim_{x\to0}\left[1-\cos\left(x^{2}\right)\right]=1-1=0$

Los dos límites existen y son finitos, así que el límite del producto es el producto de los límites:

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x^{2}-\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{1-\cos(x)}=2\cdot0=0$

El límite pedido vale 0.

$\textbf{b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x) = \cos^{2}(x)\operatorname{sen}(x)}\textbf{ con } \boldsymbol{x \in [0, \pi]}\textbf{ y el eje de abscisas. [1,25 puntos]}$

Antes de integrar hay que saber si la función cambia de signo dentro del intervalo, porque en ese caso habría que partir la integral. Estudiamos los dos factores por separado.

$\cos^{2}(x)\geq0\qquad \forall x\in\mathbb{R}$

$\operatorname{sen}(x)\geq0\qquad \forall x\in[0,\pi]$

$f(x)=\cos^{2}(x)\operatorname{sen}(x)\geq0\qquad \forall x\in[0,\pi]$

La función no es negativa en ningún punto del intervalo (solo se anula en $x=\frac{\pi}{2}$ y en los extremos), de modo que el área es directamente la integral entre 0 y $\pi$.

$A=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^{2}(x)\operatorname{sen}(x)\,dx$

Es una integral casi inmediata del tipo potencia: la derivada del coseno es menos el seno.

$\begin{cases} t=\cos(x) \\ dt=-\operatorname{sen}(x)\,dx \end{cases}\ \Rightarrow\ \displaystyle\int \cos^{2}(x)\operatorname{sen}(x)\,dx=-\int t^{2}\,dt=-\dfrac{t^{3}}{3}=-\dfrac{\cos^{3}(x)}{3}$

Aplicamos la regla de Barrow:

$A=\left[-\dfrac{\cos^{3}(x)}{3}\right]_{0}^{\pi}=-\dfrac{(-1)^{3}}{3}+\dfrac{1^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$



El área de la región limitada por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas entre 0 y $\pi$ es $\frac{2}{3}\ \text{u}^{2}\approx0{,}67\ \text{u}^{2}$.