Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

a) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ que pasa por el punto $P(4, -3, 0)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x - 2y + z - 1 = 0$. [1 punto]

b) Halla la ecuación del plano que contiene al punto $Q(1, 2, 3)$ y a la recta

$r \equiv \begin{cases} x + y + z = 1, \\ x - 2y = 0. \end{cases}$

[1,5 puntos]

$\textbf{a) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ que pasa por el punto } \boldsymbol{P(4, -3, 0)}\textbf{ y es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi \equiv x - 2y + z - 1 = 0}\textbf{. [1 punto]}$

Una recta perpendicular a un plano lleva la dirección de su vector normal, así que el director de $s$ se lee directamente en los coeficientes de la ecuación del plano.











$\vec n_{\pi}=(1,-2,1)\ \Rightarrow\ \vec v_{s}=(1,-2,1)$

Con el punto $P(4,-3,0)$ y ese vector director escribimos las paramétricas.





$s:\begin{cases} x=4+\lambda \\ y=-3-2\lambda \\ z=\lambda \end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

La recta pedida es la que pasa por $P$ con vector director $\vec v_{s}=(1,-2,1)$.

$\textbf{b) Halla la ecuación del plano que contiene al punto } \boldsymbol{Q(1, 2, 3)}\textbf{ y a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,5 puntos]}$

El plano buscado queda determinado por un punto y dos vectores directores. Uno de los directores es el de la recta $r$ y el otro se obtiene uniendo un punto de $r$ con el punto $Q$.

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su vector director es el producto vectorial de las dos normales:

$\vec v_{r}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=(0+2)\vec i-(0-1)\vec j+(-2-1)\vec k=(2,1,-3)$

Para tener un punto de $r$ damos un valor a una incógnita en el sistema que la define. Con $y=0$, la segunda ecuación da $x=0$ y la primera $z=1$:

$R(0,0,1)\in r$

$\overrightarrow{RQ}=(1,2,3)-(0,0,1)=(1,2,2)$

El plano pasa por $R$ y tiene por directores $\vec v_{r}$ y $\overrightarrow{RQ}$, luego un punto genérico suyo cumple:

$\sigma:\begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}=0$

$x(2+6)-y(4+3)+(z-1)(4-1)=0$

$8x-7y+3z-3=0$

Comprobamos que el plano contiene lo que debe: el punto $Q$ y la recta $r$.

$Q:\ 8\cdot1-7\cdot2+3\cdot3-3=8-14+9-3=0\ \checkmark$

$R:\ 8\cdot0-7\cdot0+3\cdot1-3=0\ \checkmark$

$\vec v_{r}\cdot\vec n_{\sigma}=(2,1,-3)\cdot(8,-7,3)=16-7-9=0\ \checkmark$

El plano pedido es $\sigma:8x-7y+3z-3=0$.