Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

Un estudiante universitario de matemáticas ha comprobado que el tiempo que le cuesta llegar desde su casa a la universidad sigue una distribución normal de media 30 minutos y desviación típica 5 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde menos de 40 minutos en llegar a la universidad? [0,75 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde entre 20 y 40 minutos? [0,75 puntos]

c) El estudiante, un día al salir de su casa, comprueba que faltan exactamente 40 minutos para que empiece la clase. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde a clase? [0,5 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde menos de 40 minutos en llegar a la universidad? [0,75 puntos]}$

Llamamos $T$ al tiempo, en minutos, que tarda el estudiante en llegar a la universidad. Según el enunciado sigue una distribución normal de media 30 y desviación típica 5.

$T\sim N(\mu,\sigma)=N(30;\,5)$

Para poder usar la tabla se tipifica la variable restando la media y dividiendo por la desviación típica.

$P(T<40)=P\left(Z<\dfrac{40-30}{5}\right)=P(Z<2)=0{,}9772$



La probabilidad de que tarde menos de 40 minutos es $0{,}9772$, es decir, un $97{,}72\ \%$.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde entre 20 y 40 minutos? [0,75 puntos]}$

Se tipifican los dos extremos del intervalo. Al estar ambos a la misma distancia de la media, el intervalo tipificado resulta simétrico respecto del origen.

$P(20<T<40)=P\left(\dfrac{20-30}{5}<Z<\dfrac{40-30}{5}\right)=P(-2<Z<2)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, el área central se obtiene como:

$P(-2<Z<2)=2\,P(Z\leq2)-1=2\cdot0{,}9772-1=0{,}9544$



La probabilidad de que tarde entre 20 y 40 minutos es $0{,}9544$, es decir, un $95{,}44\ \%$.

$\textbf{c) El estudiante, un día al salir de su casa, comprueba que faltan exactamente 40 minutos para que empiece la clase. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde a clase? [0,5 puntos]}$

Llegar tarde significa emplear más de 40 minutos, que es el suceso contrario del apartado a); no hace falta volver a la tabla.

$P(T>40)=1-P(T<40)=1-0{,}9772=0{,}0228$

La probabilidad de que llegue tarde a clase es $0{,}0228$, es decir, apenas un $2{,}28\ \%$ de los días.