Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule la siguiente integral

$\displaystyle\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx$

[2 puntos]

En el integrando aparece $e^{x^{2}}$, cuya primitiva no es elemental por sí sola, pero va acompañado de potencias de $x$ que permiten el cambio de variable $t=x^{2}$: una de las tres $x$ se va con el diferencial y las otras dos se convierten en $t$.

$\begin{cases}t=x^{2}\\ dt=2x\,dx\ \Rightarrow\ x\,dx=\dfrac{dt}{2}\end{cases}$

$\displaystyle\int x^{3}e^{x^{2}}dx=\int x^{2}\,e^{x^{2}}\,x\,dx=\int t\,e^{t}\,\dfrac{dt}{2}=\dfrac{1}{2}\int t\,e^{t}\,dt$

La integral que queda se resuelve por partes:

$\begin{cases}u=t & du=dt\\ dv=e^{t}dt & v=e^{t}\end{cases}\ \Rightarrow\ \displaystyle\int t\,e^{t}dt=t\,e^{t}-\int e^{t}dt=t\,e^{t}-e^{t}=e^{t}(t-1)$

$\displaystyle\int x^{3}e^{x^{2}}dx=\dfrac{1}{2}e^{t}(t-1)+C$

Deshacemos el cambio de variable:

$\displaystyle\int x^{3}e^{x^{2}}dx=\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)+C$

Comprobamos derivando el resultado:

$\left[\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)\right]'=\dfrac{1}{2}\left[2x\,e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)+2x\,e^{x^{2}}\right]=x\,e^{x^{2}}\left(x^{2}-1+1\right)=x^{3}e^{x^{2}}$

La integral pedida vale $\frac{1}{2}e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)+C$.