Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Aragón · 2020

Dada la siguiente función: $f(x) = \dfrac{-x^{2}}{2} + 2\ln(x + 1)$

a) Calcule el dominio de $f(x)$. [0,25 puntos]

b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule el dominio de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,25 puntos]}$

El primer sumando es un polinomio, definido en todo $\mathbb{R}$, y el segundo un logaritmo neperiano, que solo está definido para argumentos estrictamente positivos.

$x+1>0\ \Rightarrow\ x>-1\ \Rightarrow\ \text{Dom}\,f=(-1,+\infty)$

$\textbf{b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,75 puntos]}$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada, que conviene reunir en una sola fracción para poder estudiarla.

$f'(x)=-x+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{-x(x+1)+2}{x+1}=\dfrac{-x^{2}-x+2}{x+1}$

Factorizamos el numerador buscando sus raíces:

$-x^{2}-x+2=0\ \Rightarrow\ x^{2}+x-2=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{-1\pm3}{2}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}$

$f'(x)=\dfrac{-(x+2)(x-1)}{x+1}$

La raíz $x=-2$ queda fuera del dominio, así que no separa ningún intervalo: en todo el dominio se cumple $x>-1$ y por tanto $x+2>0$ y $x+1>0$. El signo de la derivada depende únicamente del factor $x-1$, cambiado de signo.

$-1<x<1:\quad x-1<0\ \Rightarrow\ f'(x)>0\ \Rightarrow\ f\ \text{es creciente}$

$x>1:\quad x-1>0\ \Rightarrow\ f'(x)<0\ \Rightarrow\ f\ \text{es decreciente}$

Lo comprobamos evaluando la derivada en un punto de cada intervalo:

$f'(0)=\dfrac{2}{1}=2>0\ ;\qquad f'(2)=\dfrac{-4\cdot1}{3}=-\dfrac{4}{3}<0$



La función es creciente en $(-1,1)$ y decreciente en $(1,+\infty)$. Como pasa de crecer a decrecer, en $x=1$ hay un máximo relativo, de valor

$f(1)=-\dfrac{1}{2}+2\ln2\approx0{,}8863$