Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el siguiente límite

$\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{2}{\operatorname{tg}(x)}}$

[2 puntos]

La base tiende a 1 y el exponente a infinito, porque la tangente tiende a cero: es la indeterminación $1^{\infty}$, que se resuelve con la fórmula asociada al número $e$.

$\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{2}{\operatorname{tg}(x)}}=e^{\,\Lambda},\qquad \Lambda=\lim_{x\to0}\dfrac{2}{\operatorname{tg}(x)}\left[(1+x)-1\right]=\lim_{x\to0}\dfrac{2x}{\operatorname{tg}(x)}$

El límite que queda es del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\Lambda=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{2}{\frac{1}{\cos^{2}(x)}}=\lim_{x\to0}2\cos^{2}(x)=2\cdot1=2$

(También sale de inmediato recordando que $\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}{x}=1$.)

$\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{2}{\operatorname{tg}(x)}}=e^{2}\approx7{,}3891$

El límite pedido vale $e^{2}$.