Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Halle la ecuación general del plano que contiene a la recta $r : \begin{cases} 3x + y - 4z + 1 = 0 \\ 2x + y - z + 2 = 0 \end{cases}$ y es perpendicular al plano $\pi : 2x - y + 3z - 1 = 0$. [2 puntos]

Todos los planos que contienen a una recta dada como intersección de otros dos forman el haz que estos generan: cualquier combinación lineal de sus ecuaciones se anula en todos los puntos de la recta. Basta escribir el haz e imponer la condición de perpendicularidad.

$\lambda\left(3x+y-4z+1\right)+\mu\left(2x+y-z+2\right)=0,\qquad (\lambda,\mu)\neq(0,0)$

Agrupando términos se obtiene la ecuación general y, con ella, el vector normal:

$\left(3\lambda+2\mu\right)x+\left(\lambda+\mu\right)y+\left(-4\lambda-\mu\right)z+\left(\lambda+2\mu\right)=0$

$\vec n=\left(3\lambda+2\mu,\ \lambda+\mu,\ -4\lambda-\mu\right)$

Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales, es decir, cuando su producto escalar se anula. El del plano $\pi$ se lee en su ecuación:

$\vec n_{\pi}=(2,-1,3)$

$\vec n\cdot\vec n_{\pi}=2\left(3\lambda+2\mu\right)-\left(\lambda+\mu\right)+3\left(-4\lambda-\mu\right)=0$

$6\lambda+4\mu-\lambda-\mu-12\lambda-3\mu=-7\lambda=0\ \Rightarrow\ \lambda=0$

Los términos en $\mu$ se cancelan entre sí, de modo que la condición solo obliga a que $\lambda$ sea nulo. Como $\lambda$ y $\mu$ no pueden anularse a la vez, se toma $\mu=1$ y el plano buscado es el segundo de los dos que definen la recta:

$\sigma:\ 2x+y-z+2=0$

Comprobamos la perpendicularidad con el plano dado:

$(2,1,-1)\cdot(2,-1,3)=4-1-3=0$

El plano pedido es $\sigma:\ 2x+y-z+2=0$. Contiene a la recta por construcción, ya que es uno de los planos que la definen.