Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} a - 3 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & a & 2 \end{pmatrix}$ y $b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ a \end{pmatrix}$, siendo $a$ un número real cualquiera:

a) Discuta el sistema $AX = b$ según los valores del parámetro $a$. [1,25 puntos]

b) Resuelva el sistema cuando $a = 1$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema } \boldsymbol{AX = b}\textbf{ según los valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada entre sí y con el número de incógnitas, que es 3.

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}a-3&0&4&2\\1&0&-2&-1\\-1&a&2&a\end{array}\right)$

La segunda columna tiene dos ceros, así que el determinante se desarrolla por ella con un solo sumando:

$|A|=-a\begin{vmatrix}a-3&4\\1&-2\end{vmatrix}=-a\left[-2(a-3)-4\right]=-a(-2a+2)=2a^{2}-2a=2a(a-1)$

$2a(a-1)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases}a=0\\a=1\end{cases}$

$\text{Si }a\neq0\ \text{y}\ a\neq1:\quad |A|\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado.

$a=0:\quad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}-3&0&4&2\\1&0&-2&-1\\-1&0&2&0\end{array}\right)$

La segunda columna es entera de ceros, de modo que el rango de $A$ no llega a 3; el menor de las dos primeras filas con las columnas primera y tercera sí es no nulo:

$\begin{vmatrix}-3&4\\1&-2\end{vmatrix}=6-4=2\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}-3&4&2\\1&-2&-1\\-1&2&0\end{vmatrix}=0+4+4-4+0-6=-2\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A^{*})=3$

$a=0:\quad \operatorname{ran}(A)=2\neq3=\operatorname{ran}(A^{*})\ \Rightarrow\ \text{sistema incompatible}$

$a=1:\quad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}-2&0&4&2\\1&0&-2&-1\\-1&1&2&1\end{array}\right)$

Aquí la primera fila es $-2$ veces la segunda, término independiente incluido, así que no aporta nada. Con las otras dos:

$\begin{vmatrix}1&0\\-1&1\end{vmatrix}=1\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3$

$a=1:\quad \text{sistema compatible indeterminado}$

En resumen: el sistema es compatible determinado si $a\neq0$ y $a\neq1$, incompatible si $a=0$ y compatible indeterminado si $a=1$.

$\textbf{b) Resuelva el sistema cuando } \boldsymbol{a = 1}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, y la primera ecuación es proporcional a la segunda, de modo que se puede descartar.

$\begin{cases}x-2z=-1\\-x+y+2z=1\end{cases}$

Tomamos como parámetro la incógnita que no es principal, $z=\lambda$, y despejamos las otras dos:

$x=2\lambda-1$

$y=1+x-2z=1+(2\lambda-1)-2\lambda=0$

$(x,y,z)=(2\lambda-1,\ 0,\ \lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos en la primera ecuación, que es la que se ha descartado:

$-2(2\lambda-1)+4\lambda=-4\lambda+2+4\lambda=2$

El sistema tiene infinitas soluciones, que son los puntos de la recta $(2\lambda-1,0,\lambda)$, con $\lambda$ recorriendo los números reales.