Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

De los estudiantes universitarios españoles, uno de cada 5 abandona sus estudios. Se seleccionan 5 estudiantes universitarios españoles al azar, de modo independiente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que uno o ninguno de dichos estudiantes abandonen sus estudios? (No es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando y desarrollando los números y operaciones básicas que la definen, pero sin hacer los cálculos finales). [1 punto]

b) ¿Qué es más probable, que todos abandonen sus estudios, o que ninguno lo haga? Razone la respuesta de modo numérico. [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que uno o ninguno de dichos estudiantes abandonen sus estudios? [1 punto]}$

Se eligen 5 estudiantes de manera independiente y de cada uno interesa solo si abandona los estudios o no, con la misma probabilidad en todos los casos: es una distribución binomial. Que abandone uno de cada cinco significa que la probabilidad de abandono es $\frac{1}{5}=0{,}2$.

$X\equiv$ número de estudiantes, de los 5 elegidos, que abandonan sus estudios

$X\sim B(5;\,0{,}2)\ \Rightarrow\ P(X=k)=\binom{5}{k}\,0{,}2^{k}\,0{,}8^{5-k}$

Que abandonen uno o ninguno significa $X\leq1$, que son dos casos:

$P(X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)=\binom{5}{0}\,0{,}2^{0}\,0{,}8^{5}+\binom{5}{1}\,0{,}2^{1}\,0{,}8^{4}$

$=0{,}8^{5}+5\cdot0{,}2\cdot0{,}8^{4}=0{,}32768+0{,}4096=0{,}73728$

La probabilidad de que abandonen los estudios uno o ninguno de los cinco estudiantes es $0{,}73728$, es decir, algo más del $73\ \%$.

$\textbf{b) ¿Qué es más probable, que todos abandonen sus estudios, o que ninguno lo haga? Razone la respuesta de modo numérico. [1 punto]}$

Los dos sucesos son los extremos de la distribución y en ambos el número combinatorio vale 1, así que sus probabilidades son simplemente potencias quintas.

$P(X=5)=\binom{5}{5}\,0{,}2^{5}\,0{,}8^{0}=0{,}2^{5}=0{,}00032$

$P(X=0)=\binom{5}{0}\,0{,}2^{0}\,0{,}8^{5}=0{,}8^{5}=0{,}32768$

$P(X=0)=0{,}32768>0{,}00032=P(X=5)$

Es mucho más probable que no abandone ninguno. El cociente lo dice con precisión:

$\dfrac{P(X=0)}{P(X=5)}=\dfrac{0{,}8^{5}}{0{,}2^{5}}=\left(\dfrac{0{,}8}{0{,}2}\right)^{5}=4^{5}=1024$

Que no abandone ninguno es 1024 veces más probable que el que abandonen los cinco.