Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule la siguiente integral:

$\displaystyle\int \left( \sqrt{x} \cdot \ln^{2} x \right) dx$

[2 puntos]

El integrando es el producto de una potencia por el cuadrado de un logaritmo, así que se resuelve por partes tomando como $u$ el logaritmo: al derivarlo baja su exponente, y con dos aplicaciones se llega a una integral inmediata.

$\begin{cases}u=\ln^{2}x & du=\dfrac{2\ln x}{x}\,dx\\[1ex] dv=\sqrt{x}\,dx=x^{1/2}dx & v=\dfrac{2}{3}x^{3/2}\end{cases}$

$\displaystyle\int \sqrt{x}\,\ln^{2}x\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3/2}\ln^{2}x-\int\dfrac{2}{3}x^{3/2}\cdot\dfrac{2\ln x}{x}\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3/2}\ln^{2}x-\dfrac{4}{3}\int x^{1/2}\ln x\,dx$

Volvemos a integrar por partes la integral que queda:

$\begin{cases}u=\ln x & du=\dfrac{dx}{x}\\[1ex] dv=x^{1/2}dx & v=\dfrac{2}{3}x^{3/2}\end{cases}$

$\displaystyle\int x^{1/2}\ln x\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3/2}\ln x-\dfrac{2}{3}\int x^{1/2}dx=\dfrac{2}{3}x^{3/2}\ln x-\dfrac{4}{9}x^{3/2}$

Sustituyendo:

$\displaystyle\int \sqrt{x}\,\ln^{2}x\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3/2}\ln^{2}x-\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\ln x-\dfrac{4}{9}x^{3/2}\right)+C$

$=\dfrac{2}{3}x^{3/2}\ln^{2}x-\dfrac{8}{9}x^{3/2}\ln x+\dfrac{16}{27}x^{3/2}+C$

Sacando factor común se deja más compacta:

$=\dfrac{2}{27}x^{3/2}\left(9\ln^{2}x-12\ln x+8\right)+C$

La integral pedida vale $\frac{2}{27}\sqrt{x^{3}}\left(9\ln^{2}x-12\ln x+8\right)+C$.