Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Aragón · 2020

Se considera la siguiente función: $f(x) = \dfrac{x^{2}}{1 - e^{-x}}$

Estudie la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y calcúlelas cuando existan. [2 puntos]

El dominio son los reales que no anulan el denominador, y ahí es donde hay que buscar las posibles asíntotas verticales.

$1-e^{-x}=0\ \Rightarrow\ e^{-x}=1\ \Rightarrow\ -x=0\ \Rightarrow\ x=0$

$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{0\}$

Que el denominador se anule en un punto no basta para que haya asíntota vertical: hay que comprobar el límite, porque el numerador también se anula allí.

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x^{2}}{1-e^{-x}}=\dfrac{0}{0}$

Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x^{2}}{1-e^{-x}}=\lim_{x\to0}\dfrac{2x}{e^{-x}}=\dfrac{0}{1}=0$

El límite es finito, de modo que en $x=0$ no hay asíntota vertical sino una discontinuidad evitable: bastaría definir $f(0)=0$ para que la función fuese continua. La función no tiene, por tanto, ninguna asíntota vertical.

Para las asíntotas horizontales hay que separar los dos infinitos, porque la exponencial se comporta de manera muy distinta en cada uno.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}}{1-e^{-x}}=\dfrac{+\infty}{1-0}=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^{2}}{1-e^{-x}}=\dfrac{+\infty}{-\infty}$

En este segundo caso el denominador crece exponencialmente y el numerador solo como un polinomio, así que gana el denominador. Aplicando dos veces la regla de L'Hôpital:

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^{2}}{1-e^{-x}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x}{e^{-x}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2}{-e^{-x}}=0^{-}$

$y=0\ \text{es asíntota horizontal cuando }x\to-\infty$

Solo falta la asíntota oblicua, que únicamente podría existir por la derecha, ya que por la izquierda hay horizontal.

$m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}}{x\left(1-e^{-x}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{1-e^{-x}}=+\infty$

La pendiente no es finita, luego no hay asíntota oblicua: por la derecha la gráfica presenta una rama parabólica, ya que $f(x)$ se comporta como $x^{2}$.



En resumen: la función no tiene asíntotas verticales —en $x=0$ la discontinuidad es evitable— ni oblicuas, y su única asíntota es la horizontal $y=0$ cuando $x\to-\infty$.