Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Se considera la recta $r \equiv \begin{cases} x + z = 1 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$

a) Calcule la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y que pasa por el punto $(0, 0, 1)$. [1,25 puntos]

b) Se considera el paralelepípedo definido por los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{u} \times \vec{v}$. Sabiendo que $\vec{u} \times \vec{v} = (-1, 1, 1)$, calcule el volumen de dicho paralelepípedo. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación del plano que contiene a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y que pasa por el punto } \boldsymbol{(0, 0, 1)}\textbf{. [1,25 puntos]}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, y todos los planos que la contienen forman el haz que generan esos dos: cualquier combinación lineal de sus ecuaciones se anula en todos los puntos de la recta. Basta, pues, escribir el haz e imponer que pase por el punto dado.

$\lambda(x+z-1)+\mu(2x+y-3)=0,\qquad (\lambda,\mu)\neq(0,0)$

Sustituimos el punto $(0,0,1)$:

$\lambda(0+1-1)+\mu(0+0-3)=0\ \Rightarrow\ -3\mu=0\ \Rightarrow\ \mu=0$

Con $\mu=0$ el parámetro $\lambda$ queda libre y puede tomarse igual a 1, de modo que el plano buscado es uno de los dos que definen la recta:

$\pi:\ x+z-1=0$

Era de esperar: el punto $(0,0,1)$ verifica $0+1-1=0$, así que ya pertenecía a ese plano y no hacía falta ninguna combinación nueva.

El plano pedido es $\pi:\ x+z=1$.

$\textbf{b) Sabiendo que } \boldsymbol{\vec{u} \times \vec{v} = (-1, 1, 1)}\textbf{, calcule el volumen de dicho paralelepípedo. [0,75 puntos]}$

El volumen de un paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que lo determinan. Aquí el tercero es el producto vectorial de los otros dos, y eso simplifica el cálculo del todo: el producto mixto $\left[\vec u,\vec v,\vec w\right]$ es por definición $\left(\vec u\times\vec v\right)\cdot\vec w$, y aquí $\vec w$ es precisamente $\vec u\times\vec v$.

$V=\left|\left[\vec u,\vec v,\vec u\times\vec v\right]\right|=\left|\left(\vec u\times\vec v\right)\cdot\left(\vec u\times\vec v\right)\right|=\left|\vec u\times\vec v\right|^{2}$

$\left|\vec u\times\vec v\right|^{2}=(-1)^{2}+1^{2}+1^{2}=3$

No hace falta, por tanto, conocer $\vec u$ ni $\vec v$. El volumen del paralelepípedo es de 3 unidades cúbicas.